第31课时——用二分法求方程的近似解.doc

第三十一课时用二分法求方程的近似解【学习导航】知识网络学习要求1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件了解二分法是求方程近似解的常用方法从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；2．能借助计算器用二分法求方程的近似解；3．体会数学逼近过程感受精确与近似的相对统一．自学评价1．二分法对于在区间上连续不断且满足的函数通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精度用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：听课随笔（1）确定区间验证给定精度；（2）求区间的中点；（3）计算：①若=则就是函数的零点；②若·<则令=（此时零点）；③若·<则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度：即若则得到零点值（或）；否则重复步骤2~4．【精典范例】例1：利用计算器求方程的一个近似解（精确到0.1）．【解】设先画出函数图象的简图.(如右图所示)因为所以在区间内方程有一解记为.取与的平均数因为所以.再取与的平均数因为所以.如此继续下去得因为与精确到的近似值都为所以此方程的近似解为.利用同样的方法还可以求出方程的另一个近似解.点评:①第一步确定零点所在的大致区间可利用函数性质也可借助计算机或计算器但尽量取端点为整数的区间尽量缩短区间长度通常可确定一个长度为1的区间；②建议列表样式如下：零点所在区间区间中点函数值区间长度10.50.250.125如此列表的优势：计算步数明确区间长度小于精度时即为计算的最后一步．例2：利用计算器求方程的近似解（精确到0.1）．分析：分别画函数和的图象在两个函数图象的交点处函数值相等．因此这个点的横坐标就是方程的解．由函数与的图象可以发现方程有惟一解记为并且这个解在区间内.【解】设利用计算器计算得听课随笔因为与精确到的近似值都为所以此方程的近似解为.思考:发现计算的结果约稳定在.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．除了二分法、迭代法求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．例3：利用计算器求方程的近似解（精确到0.1）．【解】方程可以化为．分别画函数与的图象由图象可以知道方程的解在区间内那么对于区间利用二分法就可以求得它的近似解为.追踪训练一1.设是方程的解则所在的区间为（）A．B．C．D．2.估算方程的正根所在的区间是（）A．B．C．D．3．计算器求得方程的负根所在的区间是（）A．（0）B．C．D．4.利用计算器求下列方程的近似解(精确到)(1)(2)【选修延伸】一、含字母系数的二次函数问题例4：二次函数中实数、、满足其中求证：（1）)；（2）方程在内恒有解．分析：本题的巧妙之处在于第一小题提供了有益的依据：是区间内的数且这就启发我们把区间划分为()和（）来处理．【解】（1）由于是二次函数故又所以．⑵由题意得．①当时由（1）知听课随笔若则又所以在（）内有解．若则听课随笔又所以在（）内有解．②当时同理可证．点评：（1）题目点明是“二次函数”这就暗示着二次项系数．若将题中的“二次”两个字去掉所证结论相应更改．（2）对字母、分类时先对哪个分类是有一定讲究的本题的证明中先对分类然后对分类显然是比较好．追踪训练二1．若方程在内恰有一则实数的取值范围是()A．B．C．D．2.方程的两个根分别在区间和内则的取值范围是；3．已知函数在上存在使则实数的取值范围是________________．4．已知函数⑴试求函数的零点；⑵是否存在自然数使？若存在求出若不存在请说明理由．