高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 高考专题突破一 高考中的导数应用问题学案 文 北师大版-北师大版高三全册数学学案.doc

高考专题突破一高考中的导数应用问题【考点自测】1．若函数f(x)＝2sinx(x∈[0π])的图像在点P处的切线平行于函数g(x)＝2eq\r(x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3)＋1))的图像在点Q处的切线则直线PQ的斜率为()A.eq\f(83)B．2C.eq\f(73)D.eq\f(\r(3)3)答案A解析f′(x)＝2cosx∈[－22]g′(x)＝eq\r(x)＋eq\f(1\r(x))≥2(当且仅当x＝1时取等号)．当两函数的切线平行时xp＝0xQ＝1.即P(00)Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1\f(83)))∴直线PQ的斜率为eq\f(83).2．(2017·全国Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1答案A解析函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．由ex－1＞0恒成立得当x＝－2或x＝1时f′(x)＝0且当x＜－2时f′(x)＞0；当－2＜x＜1时f′(x)＜0；当x＞1时f′(x)＞0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.故选A.3．设f(x)g(x)在[ab]上可导且f′(x)>g′(x)则当a<x<b时有()A．f(x)>g(x)B．f(x)<g(x)C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)答案C解析∵f′(x)－g′(x)>0∴(f(x)－g(x))′>0∴f(x)－g(x)在[ab]上是增函数∴当a<x<b时f(x)－g(x)>f(a)－g(a)∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．4．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2＋∞)上是增加的则实数m的取值范围为____________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞\f(52)))解析∵f′(x)＝6x2－6mx＋6当x∈(2＋∞)时f′(x)≥0恒成立即x2－mx＋1≥0恒成立∴m≤x＋eq\f(1x)恒成立．令g(x)＝x＋eq\f(1x)g′(x)＝1－eq\f(1x2)∴当x>2时g′(x)>0即g(x)在(2＋∞)上是增加的∴m≤2＋eq\f(12)＝eq\f(52).5．(2017·江苏)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－eq\f(1ex)其中e是自然对数的底数若f(a－1)＋f(2a2)≤0则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1\f(12)))解析因为f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－eq\f(1e－x)＝－x3＋2x－ex＋eq\f(1ex)＝－f(x)所以f(x)＝x3－2x＋ex－eq\f(1ex)是奇函数．因为f(a－1)＋f(2a2)≤0所以f(2a2)≤－f(a－1)即f(2a2)≤f(1－a)．因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2eq\r(ex·e－x)＝3x2≥0当且仅当x＝0时“＝”成立所以f(x)在R上是增加的所以2a2≤1－a即2a2＋a－1≤0所以－1≤a≤eq\f(12).题型一利用导数研究函数性质例1(2018·沈阳质检)设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)xa∈R.(1)令g(x)＝f′(x)求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值求实数a的取值范围．解(1)由f′(x)＝lnx－2ax＋2a可得g(x)＝lnx－2ax＋2ax∈(0＋∞)所以g′(x)＝eq\f(1x)－2a＝eq\f(1－2axx).当a≤0x∈(0＋∞)时g′(x)＞0函数g(x)是增加的；当a＞0x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0\f(12a)))时g′(x)＞0函数g(x)是增加的x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12a)＋∞))时g′(x)＜0函数g(x)是减少的．所以当a≤0时函数g