高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 2.2.3 导数的简单应用、定积分学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

2.2.3导数的简单应用、定积分1．(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1[解析]由题意可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点∴f′(－2)＝0∴a＝－1∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)∴x∈(－∞－2)(1＋∞)时f′(x)>0f(x)单调递增；x∈(－21)时f′(x)<0f(x)单调递减∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.故选A.[答案]A2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x则f(x)的最小值是________．[解析]解法一：由f(x)＝2sinx＋sin2x得f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2令f′(x)＝0得cosx＝eq\f(12)或cosx＝－1可得当cosx∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(12)))时f′(x)<0f(x)为减函数；当cosx∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)1))时f′(x)>0f(x)为增函数所以当cosx＝eq\f(12)时f(x)取最小值此时sinx＝±eq\f(\r(3)2).又因为f(x)＝2sinx＋2sinxcosx＝2sinx(1＋cosx)1＋cosx≥0恒成立∴f(x)取最小值时sinx＝－eq\f(\r(3)2)∴f(x)min＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3)2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(12)))＝－eq\f(3\r(3)2).解法二：f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx＋2sinxcosx＝2sinx(1＋cosx)∴f2(x)＝4sin2x(1＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3.令cosx＝tt∈[－11]设g(t)＝4(1－t)(1＋t)3∴g′(t)＝－4(1＋t)3＋12(1＋t)2(1－t)＝4(1＋t)2(2－4t)．当t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(12)))时g′(t)>0g(t)为增函数；当t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)1))时g′(t)<0g(t)为减函数．∴当t＝eq\f(12)时g(t)取得最大值eq\f(274)即f2(x)的最大值为eq\f(274)得|f(x)|的最大值为eq\f(3\r(3)2)又f(x)＝2sinx＋sin2x为奇函数∴f(x)的最小值为－eq\f(3\r(3)2).[答案]－eq\f(3\r(3)2)3．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(01)处的切线的斜率为－2则a＝________.[解析]设f(x)＝(ax＋1)ex则f′(x)＝(ax＋a＋1)ex所以曲线在点(01)处的切线的斜率k＝f′(0)＝a＋1＝－2解得a＝－3.[答案]－34．(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(1f(1))处的切线与x轴平行求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值求a的取值范围．[解](1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0即(1－a)e＝0解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a>eq\f(12)则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1a)2))时f′(x)<0；当x∈(2＋∞)时f′(x)>0.所以f(x)在x＝2处取得极小值．若a≤eq\f(12)则当x∈(02)时x－2<0ax－1≤eq\f(12)x－1<0所以f′(x)>0所以2不是f(x)的极小值点．综上可知a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)＋∞)).1.高考对导数的几何意义的考查多在选择、填空题中出现难度较小有时出现在解答题第一问．2．高考重点考查导数的应用即利用导数研究函数