高二数学下6.5 含有绝对值的不等式教案.doc

课题：含有绝对值的不等式（1）教学目的：1．理解含有绝对值的不等式的性质；2．培养学生观察、推理的思维能力使学生树立创新意识；3运用联系的观点解决问题提高学生的数学素质；4．认识不等式证法的多样性、灵活性教学重点：含有绝对值不等式的性质、定理的综合运用教学难点：对性质的理解、常见证明技巧授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：前面我们已学过不等式的性质和证明方法这一节我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题我们知道当a＞0时|x|＜a－a＜x＜a|x|＞ax＞a或x＜－a根据上面的结果和不等式的性质我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质二、讲解新课：定理：证明：∵①又∵a=a+b-b|-b|=|b|由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|即|a|-|b|≤|a+b|②综合①②:注意：1左边可以“加强”同样成立即2这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边两边之差小于第三边3ab同号时右边取“=”ab异号时左边取“=”推论1：≤推论2：证明：在定理中以-b代b得：即三、讲解范例：例1已知|x|＜|y|＜|z|＜求证|x+2y－3z|＜ε证明：|x+2y－3z|≤|x|＋|2y|＋|－3z|=|x|＋2|y|＋3|z|∵|x|＜|y|＜|z|＜∴|x|＋2|y|＋3|z|＜∴|x＋2y－3z|＜ε说明：此例题主要应用了推论1其中出现的字母ε其目的是为学生以后学习微积分作点准备例2设abcd都是不等于0的实数求证≥4证明：∵∴①②又③由①②③式得说明：此题作为一个含绝对值的不等式在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质在证法上采用的是综合法例3已知|a|＜1|b|＜1求证＜1证明：＜1＜1由|a|＜1|b|＜1可知（1－a2）(1－b2)＞0成立所以＜1说明：此题运用了|x|＜ax2＜a2这一等价条件将绝对值符号去掉并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性并用到了绝对值的有关性质也体现了证明不等式的方法的综合性和灵活性例4设|a|<1|b|<1求证|a+b|+|a-b|<2证明：当a+b与a-b同号时|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2当a+b与a-b异号时|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2∴|a+b|+|a-b|<2例5已知当ab时求证：证法一：OABab1证法二：（构造法）如图由三角形两边之差小于第三边得四、课堂练习：已知：|x－1|≤1求证：（1）|2x＋3|≤7;(2)|x2－1|≤3证明：（1）∵|2x＋3|=|2(x－1)＋5|≤2|x－1|＋5≤2＋5=7(2)|x2－1|=|(x＋1)(x－1)|=|(x－1)[(x－1)＋2]|≤|x－1||(x－1)＋2|≤|x－1|＋2≤1＋2=3五、小结：通过本节学习要求大家理解含有绝对值不等式的性质并能够简单的应用同时认识证明不等式的方法的灵活性、多样性六、课后作业：1证明下列不等式:(1)ab∈R求证|a+b|≤|a|+|b|;(2)已知|h|<|k|<(ε>0)求证:|hk|<ε;(3)已知|h|<cεc<|x|(c>0ε>0)求证:||<ε分析:用绝对值性质及不等式性质作推理运算绝对值性质有:|ab|=|a|·|b|;|an|=|a|n||=等证明:(1)证法1:∵-|a|≤a≤|a|-|b|≤b≤|b|∴-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|即|a+b|≤|a|+|b|证法2:(平方作差)(|a|+|b|)2-|a+b|2=a2+2|a||b|+b2-(a2+2ab+b2)=2［|a|·|b|-ab)=2(|ab|-ab)≥0显然成立故(|a|+|b|)2≥|a+b|2又∵|a|+|b|≥0|a+b|≥0所以|a|+|b|≥|a+b|即|a+b|≤|a|+|b|(2)∵0≤|h|<0≤|k|<(ε>0)∴0≤|hk|＝|h|·|k|<·=ε(3)由0<c<|x|可知:0<且0≤|h|<cε∴·cε即||<ε2求证:|x+|≥2(x≠0)分析:x与同号因此有|x+|=|x|+||证法一:∵x与同号∴|x+|=|x|+∴|x+|=|x|+≥2=2即|x+|≥2证法二:当x>0时x+≥2=2当x<0时-x>0有-x+∴x∈R且x≠0时有x+≤-2或x+≥2即|x+|≥2方法点拨:不少同学这样解:因为|x+|≤|x|+又|x|+≥2=2所以|x+|≥2学生认为这样解答