反比例函数图象与三等分角.doc

反比例函数图象与三等分角历史上曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.任取一锐角∠POH过点P作OH的平行线过点O作直线两线相交于点MOM交PH于点Q并使QM=20P设N为QM的中点.∵NP=NM＝OP∴∠1＝∠2=2∠3.∵∠4=∠3∴∠1=2∠4.∴∠MOH＝∠POH.问题在于如何确定线段QM两端点的位置并且保证OQM在同一条直线上?事实上用尺规作图无法解决这一问题.那么退而求其次能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢?帕普斯(Pappus公元300前后)给出的一种方法是：如下图将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中角的一边OA与y＝的图象交于点P以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线两线相交于点MQ连接OM得到∠MOB.(1)为什么矩形PQRM的顶点Q在直线OM上?(2)你能说明∠MOB＝∠AOB的理由吗?(3)当给定的已知角是钝角或直角时怎么办?解：(1)设P、R两点的坐标分别为P(a1)R(a2)则Q(a1)M(a2）.设直线OM的关系式为y＝kx.∵当x＝a2时y=∴=ka2∴k=.∴y=x.当x=a1时y=∴Q(a1)在直线OM上.(2)∵四边形PQRM是矩形.∴PC=PR=CM.∴∠2＝2∠3.∵PC=OP∴∠1＝∠2∵∠3=∠4∴∠1=2∠4即∠MOB=∠AOB.(3)当给定的已知角是钝角或直角时钝角或直角的一半是锐角该锐角可以用此方法三等分.