第十一课时 数列应用题.doc

用心爱心专心115号编辑第十一课时数列应用题教学目标：将等比数列的通项公式和前n项求和公式应用到应用题的有关计算中去；增强学生的应用意识提高学生的实际应用能力.教学重点：等比数列通项公式和前n项和公式的应用.教学难点：利用等比数列有关知识解决一些实际问题.教学过程：［例1］某人年初向银行贷款10万元用于购房.（Ⅰ）如果他向建设银行贷款年利率为5%且这笔款分10次等额归还（不计复利）每年一次并从借后次年年初开始归还问每年应付多少元？（Ⅱ）如果他向工商银行贷款年利率为4%要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）仍分10次等额归还每年一次每年应还多少元？解：（Ⅰ）若向建设银行贷款设每年还款x元则105×(1＋10×5%)＝x(1＋9×5%)＋x(1＋8×5%)＋x(1＋7×5%)＋…＋x即：105×1.5＝10x＋45×0.05元解得x＝eq\f(105×1.512.25)≈12245(元)（Ⅱ）若向工商银行贷款每年需还y元则：105×(1＋4%)10＝y(1＋4%)9＋y(1＋4%)8＋…＋y(1＋4%)＋y即105×1.0410＝eq\f(1.0410－11.04－1)·y其中：1.0410＝1＋10×0.04＋45×0.042＋120×0.043＋210×0.044＋…≈1.4802.∴y≈eq\f(105×1.4802×0.041.4802)≈12330(元)答：向建设银行贷款每年应付12245元；若向工商银行贷款每年应付12330元.［例2］用分期付款的方式购买家电一件价为1150元购买当天先付150元以后每月这一天都交付50元并加付欠款利息月利率为1%若交付150元后的每一个月开始算分期付款的第一个月问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后买这件家用电器实际花费多少钱？解：购买时付出150元后余欠款1000元按题意应分20次付清由于每次都必须交50元外加上所欠余款的利息这样每次交付欠款的数额顺月次构成一数列设每次交款数额依次为a1a2…a20则：a1＝50＋1000×1%＝60元a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5元……a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5元即第10个月应付款55.5元.由于{an}是以60为首项以－0.5为公差的等差数列所以有：S20＝eq\f(60＋（60－19×0.5）2)×20＝1105(元)即全部付清后实际付款（1105＋150）＝1255（元）.［例3］某职工年初向银行贷款2万元用于购房银行为了推动住房制度改革贷款的优惠年利率为10%按复利计算（即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金）若这笔贷款要求10次等额还清每年一次10年还清并且从贷款后次年年初开始归还问每年应还多少元？分析：逐年分析寻找规律建立恰当数学模型.解：设贷款额为a0元贷款年利率为α次年等额归还x元第n年还清则一年后的欠款数为：a1＝(1＋α)a0－x二年后的欠款数为：a2＝(1＋α)a1－x＝(1＋α)2a0－x[（1＋α）＋1]三年后的欠款数为：a3＝(1＋α)a2－x＝(1＋α)3a0－x[（1＋α）2＋(1＋α)＋1]……n年后的欠款数为：an＝(1＋α)an－1－x＝(1＋α)na0－x[(1＋α)n－1＋(1＋α)n－2＋…＋(1＋α)＋1]由于an＝0贷款还清∴(1＋α)na0＝x·eq\f(1－(1＋α)n1－(1＋α))∴x＝eq\f(α(1＋α)na0(1＋α)n－1)将α＝0.1a0＝20000n＝10代入得x＝eq\f(2000×0.1×1.1101.110－1)≈eq\f(2000×2.59371.5937)≈3255元.［例4］某人于1997年7月1日在银行按一年定期储蓄的方式存入a元1998年7月1日他将到期存款的本息取出后添上a元再按一年定期储蓄存入银行此后他每年7月1日按照同样同样的方法在银行取款和存款设银行定期储蓄的年利率r不变问到2002年7月1日他的本息共有多少？分析：逐年分析寻找规律建立数学模型.解：由题意得：1998年本息总数为a(1＋r)1999年本息总数为a(1＋r)2＋a(1＋r)……2002年本息总数为：a(1＋r)5＋a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)即eq\f(a(1＋r)[1－(1＋r)5]1－(1＋r))＝eq\f(ar)[(1＋r)6－(1＋r)]评述：解决等比数列应用题的关键是认真审题抓特点仔细观察找规律一般地等比数列的特点是增加或减少的百分数相同为了分析数列的规律一般需先写出数列的一些项加以考查.[例5]某地区荒山2200亩从1995年开始每年春季在荒山植树