高考数学复习点拨 运用类比巧解题.doc

运用类比巧解题我们知道，类比推理是一种重要的思维活动，它不仅能够帮助我们猜测和发现结论，而且能为我们提供解题的思路和方向．这正像著名数学家欧拉所说的：“类比是伟大的引路人”．因此，在解决某些数学问题时，若能合理地运用“类比”，可为问题的解决开辟一条便捷之路．下面举例说明．例１任给7个实数，证明其中有两个数，，满足不等式０．分析：若任给7个实数中有某两个相等，结论显然成立．若7个实数互不相等，则难以入手，但仔细观察可发现：与两角差的正切公式在结构上极为相似，故可选后者为类比对象，并通过适当的代换将其转化为三角问题，作代换：，证明必存在，，满足不等式．证明：令，，则原命题化为：证明存在两个实数满足．将平均分为6个区间，则在中至少有两个落在同一个子区间内，不妨设为，，故有．于是．从而．例2如图所示，过四面体的底面上任一点分别作，，，与侧面的交点分别为，求证：为定值．分析：考虑平面上的类似命题：“过（底）边上任一点分别作，，分别交，于，，求证为定值”．对这个命题，利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．或者，过，分别作的垂线，过，分别作的垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间图形，也可考虑用两种方法证明其定值为1．证明：如图所示，设平面，平面，平面，则有，，，，，．在底面中，由于交于一点，用面积法易证得．．