高中数学竞赛教材讲义 第七章 解三角形.doc

-5-用心爱心专心第七章解三角形一、基础知识在本章中约定用ABC分别表示△ABC的三个内角abc分别表示它们所对的各边长为半周长。1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。推论1：△ABC的面积为S△ABC=推论2：在△ABC中有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中A+B=解a满足则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到这里不再给出下证推论。先证推论1由正弦函数定义BC边上的高为bsinC所以S△ABC=；再证推论2因为B+C=-A所以sin(B+C)=sinA即sinBcosC+cosBsinC=sinA两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3由正弦定理所以即sinasin(-A)=sin(-a)sinA等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]=[cos(-a+A)-cos(-a-A)]等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)因为0<-A+a-a+A<.所以只有-A+a=-a+A所以a=A得证。2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA下面用余弦定理证明几个常用的结论。（1）斯特瓦特定理：在△ABC中D是BC边上任意一点BD=pDC=q则AD2=（1）【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos所以c2=AD2+p2-2AD·pcos①同理b2=AD2+q2-2AD·qcos②因为ADB+ADC=所以cosADB+cosADC=0所以q×①+p×②得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)即AD2=注：在（1）式中若p=q则为中线长公式（2）海伦公式：因为b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A)=b2c2[(b+c)-a2][a2-(b-c)2]=p(p-a)(p-b)(p-c).这里所以S△ABC=二、方法与例题1．面积法。例1（共线关系的张角公式）如图所示从O点发出的三条射线满足另外OPOQOR的长分别为uwv这里αβα+β∈(0)则PQR的共线的充要条件是【证明】PQR共线(α+β)=uwsinα+vwsinβ得证。2．正弦定理的应用。例2如图所示△ABC内有一点P使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。【证明】过点P作PDBCPEACPFAB垂足分别为DEF则PDCE；PEAF；PDBF三组四点共圆所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。所以EDF=600同理DEF=600所以△DEF是正三角形。所以DE=EF=DF由正弦定理CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R得CP·BA=AP·BC=BP·AC得证：例3如图所示△ABC的各边分别与两圆⊙O1⊙O2相切直线GF与DE交于P求证：PABC。【证明】延长PA交GD于M因为O1GBCO2DBC所以只需证由正弦定理所以另一方面所以所以所以PA//O1G即PABC得证。3．一个常用的代换：在△ABC中记点ABC到内切圆的切线长分别为xyz则a=y+zb=z+xc=x+y.例4在△ABC中求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.【证明】令a=y+zb=z+xc=x+y则abc=(x+y)(y+z)(z+x)=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.4．三角换元。例5设abc∈R+且abc+a+c=b试求的最大值。【解】由题设令a=tanαc=tanγb=tanβ则tanβ=tan(α+γ)P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤当且仅当α+β=sinγ=即a=时Pmax=例6在△ABC中若a+b+c=1求证:a2+b2+c2+4abc<【证明】设a=sin2αcos2βb=cos2αcos2βc=sin2ββ.因为abc为三边长所以c<c>|a-b|从而所以sin2β>|cos2α·cos2β|.因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)=sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β=[1-cos22β+(1