2014高考数学一轮总复习 3.4 定积分与微积分基本定理教案 理 新人教A版.doc

43.4定积分与微积分基本定理典例精析题型一求常见函数的定积分【例1】计算下列定积分的值.(1)(x－1)5dx；(2)(x＋sinx)dx.【解析】(1)因为[eq\f(16)(x－1)6]′＝(x－1)5所以(x－1)5dx＝＝eq\f(16).(2)因为(eq\f(x22)－cosx)′＝x＋sinx所以(x＋sinx)dx＝＝eq\f(π28)＋1.【点拨】(1)一般情况下只要能找到被积函数的原函数就能求出定积分的值；(2)当被积函数是分段函数时应对每个区间分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数具有奇偶性时可用以下结论：①若f(x)是偶函数时则f(x)dx＝2f(x)dx；②若f(x)是奇函数时则f(x)dx＝0.【变式训练1】求(3x3＋4sinx)dx.【解析】(3x3＋4sinx)dx表示直线x＝－5x＝5y＝0和曲线y＝3x3＋4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和且在x轴上方的面积取正号在x轴下方的面积取负号.又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sinx)＝－f(x).所以f(x)＝3x3＋4sinx在[－55]上是奇函数所以(3x3＋4sinx)dx＝－(3x3＋4sinx)dx所以(3x3＋4sinx)dx＝(3x3＋4sinx)dx＋(3x3＋4sinx)dx＝0.题型二利用定积分计算曲边梯形的面积【例2】求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x所围成的平面图形的面积.【解析】方法一：如图由得交点A(22)B(8－4)则S＝[eq\r(2x)－(－eq\r(2x))]dx＋[4－x－(－eq\r(2x))]dx＝＋＝eq\f(163)＋eq\f(383)＝18.方法二：S＝[(4－y)－eq\f(y22)]dy＝＝18.【点拨】根据图形的特征选择不同的积分变量可使计算简捷在以y为积分变量时应注意将曲线方程变为x＝φ(y)的形式同时积分上、下限必须对应y的取值.【变式训练2】设k是一个正整数(1＋eq\f(xk))k的展开式中x3的系数为eq\f(116)则函数y＝x2与y＝kx－3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为.【解析】Tr＋1＝Ceq\o\al(rk)(eq\f(xk))r令r＝3得x3的系数为Ceq\o\al(3k)eq\f(1k3)＝eq\f(116)解得k＝4.由得函数y＝x2与y＝4x－3的图象的交点的横坐标分别为13.所以阴影部分的面积为S＝(4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－＝eq\f(43).题型三定积分在物理中的应用【例3】(1)变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2初始位置为x0＝1求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；(2)一物体按规律x＝bt3作直线运动式中x为时间t内通过的距离媒质的阻力正比于速度的平方试求物体由x＝0运动到x＝a时阻力所做的功.【解析】(1)当0≤t≤1时v(t)≥0当1≤t≤2时v(t)≤0所以前2秒内所走过的路程为s＝v(t)dt＋(－v(t))dt＝(1－t2)dt＋(t2－1)dt=＋＝2.2秒末所在的位置为x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt＝eq\f(13).所以它在前2秒内所走过的路程为22秒末所在的位置为x1＝eq\f(13).(2)物体的速度为v＝(bt3)′＝3bt2.媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4其中k为比例常数且k＞0.当x＝0时t＝0；当x＝a时t＝t1＝(eq\f(ab))又ds＝vdt故阻力所做的功为W阻＝ds＝kv2·vdt＝kv3dt＝k(3bt2)3dt＝eq\f(277)kb3teq\o\al(71)＝eq\f(277)keq\r(3a7b2).【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)＝a(t)dts(t)＝v(t)dt和W＝F(x)dx这三个公式.【变式训练3】定义F(xy)＝(1＋x)yxy∈(0＋∞).令函数f(x)＝F[1log2(x2－4x＋9)]的图象为曲线C1曲线C1与y轴交于点A(0m)过坐标原点O向曲线C1作切线切点为B(nt)(n＞0)设曲线C1在点AB之间的曲线段与线段OAOB所围成图形的面积为S求S的值.【解析】因为F(xy)＝(1＋x)y所以f(x)＝F(1log2(x2－4x＋9))＝＝x2－4x＋9故A(09)又过坐标原点O向曲线C1作切线切点为B(nt)(n＞0)f′(x)＝2x－4.所以解得B