2016-2017学年人教A版选修2-1___241__抛物线及其标准方程学案1.doc

2．4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程抛物线的定义如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：|DA|＝|DC|.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.抛物线的标准方程平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－1，0)，C(0,1)，D(0，－1)；l1：x＝－1，l2：x＝1，l3：y＝－1，l4：y＝1.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y2＝4x.问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y2＝－4x.问题3：到定点C和定直线l3，到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程分别是什么？提示：x2＝4y，x2＝－4y.抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)(eq\f(p,2)，0)x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)(－eq\f(p,2)，0)x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)(0，eq\f(p,2))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)(0，－eq\f(p,2))y＝eq\f(p,2)1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线．2．抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点取决于一次项，开口取决于正负号，即标准方程中，如果含的是x的一次项，则焦点就在x轴上，并且焦点的横坐标为eq\f(2p,4)(或－eq\f(2p,4))，相应的准线是x＝－eq\f(2p,4)(或x＝eq\f(2p,4))；如果含的是y的一次项，有类似的结论．3．抛物线标准方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的距离．求抛物线的标准方程[例1]分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．[思路点拨]eq\x(确定抛物线的类型)→eq\x(设出标准方程)→eq\x(确定参数)→eq\x(写出方程)[精解详析](1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)．又eq\f(p,2)＝2，所以2p＝8，故抛物线的标准方程为x2＝8y.(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝x－2p1y(p1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝eq\f(16,3)，2p1＝eq\f(9,4).∴所求抛物线的标准方程为y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.[一点通]求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．1．以双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16xB．y2＝－16xC．y2＝8xD．y2＝－8x解析：由双曲线方程eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，可知其焦点在x轴上．由a2＝16，得a＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)，∴抛物线的焦点为F(4,0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则由eq\f(p,2)＝4，得p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.答案：A2．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m的值；(2)求抛