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随机变量的数字特征1,在下列句子中随机地取一单词,以X表示取到的单词所包含的字母个数,试写出X的分布律并求.“TheyfoundPekinggreatlychanged”解:根据题意,有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4,5,6,7,7。所以分布律为45671/51/51/52/5.2,在上述句子的29个字母中随机地取一个字母,以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数,写出Y的分布律并求。解:5个单词字母数还是4,5,6,7,7。这时,字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为45674/295/296/2914/29.3,在一批12台电视机中有2台是次品,若在其中随即地取3台,求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。解:根据古典概率公式,取到的电视机中包含的次品数分别为0,1,2台的概率分别为,,。所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为。4,抛一颗骰子,若得6点则可抛第二次,此时得分为6+(第二次所抛的点数),否则得分就是第一次所抛的点数,不能再抛。求所得分数的分布律,并求得分的数学期望。解:根据题意,有1/6的概率得分超过6,而且得分为7的概率为两个1/6的乘积(第一次6点,第2次1点),其余类似;有5/6的概率得分小于6。分布律为12345789101112得分的数学期望为。5,(1)已知,,求。(2)设随机变量的分布律为,问的数学期望是否存在?解:(1)根据,可得,因此计算得到,即。所以=6。(2)根据题意,按照数学期望的公式可得,因此期望存在。(利用了)(不符书上答案)6,(1)某城市一天水的消费量X(百万升计)是一个随机变量,其概率密度为,求一天的平均耗水量。(2)设某动物的寿命X(以年计)是一个随机变量,其分布函数为求这种动物的平均寿命。解:(1)一天的平均耗水量为(百万升)。(2)这种动物的平均寿命为(年)。7,在美国,致命的汽车事故所占的比例X的概率密度为,求X的数学期望。解:=1/4。8,设随机变量X具有概率密度如下,求。。解:。9,设随机变量X具有概率密度如下,求。解:。(对第一个积分进行变量代换)10,设,求数学期望.解:。(不符书上答案)11,设球的直径R服从区间上的均匀分布,求球体积的数学期望。解:R的概率密度函数为,所以。12,设随机变量X的概率密度为,另有X的函数,求数学期望。解:(不符书上答案)13,设随机变量相互独立,且都服从区间上的均匀分布,记,,求。解:因为的分布函数为,所以可以求出的分布函数为,。的密度函数为,。所以的数学期望为,。14,设随机变量(X,Y)具有分布律YX01203/289/283/2813/143/14021/2800求,。解:求出边缘分布律如下YX01203/289/283/2815/2813/143/14012/2821/28001/2810/2815/283/281,,,,。15,在上题中,求。解:,。16,设随机变量具有概率密度求。解:,,。17,某工程队完成某种工程的天数X是随机变量,具有分布律10111213140.20.30.30.10.1所得利润(以元计)为,求。解:根据题意,可得利润的分布律为200010000-1000-20000.20.30.30.10.1因此,(元)。18,设随机变量X服从瑞利分布,其概率密度为其中为常数,求。解:,,,。(本题积分利用了,这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到)19,设随机变量X服从几何分布,其分布律为,其中是常数。求。解:,,所以,。本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设,则,所以。类似的,设,则经过两次积分以后可得到,在经过两次求导得到。20,设随机变量X具有概率密度为其中为常数。若,求。问当时,是否存在?若,求。问当时,是否存在?解:(1)当时,。(2)当时,,即不存在。(3),当时,,所以,。(4)当时,,所以不存在。21,(1)在14题中,求。(2)在16题中,求,。(3)在第二章习题第14题中,求。解:(1)根据14题中结果,得到;因为,,所以,,。(2)根据16题结果可得:;因为,,所以,,,。(3)在第2章14题中,由以下结果YX01200.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.380.160.340.501得到,,,,,,所以,;,,.22,设随机变量(X,Y)具有,,求,。解:根据题意有。。23,(1)设随机变量相互独立,且有,,求。(2)设相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,求。解:(1)因为相互独立,所以。(2)根据题意,可得,。。24,设随机变量(X,Y)具有概率密度验证X,Y不相关,但X,Y不是相互独立的。解:因为,,,所以,,即,验证了X,Y不相关。又因为,;,显然,,所以验证了X