(完整word版)实变函数A卷.doc

姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………_____________________…诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《实变函数-A》试卷注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.所有答案请直接答在答题纸上；3．考试形式：闭卷；4.本试卷共四大题，满分100分，考试时间120分钟。题号一二三四总分得分评卷人多项选择题（4×3分=12分）1.设是孤立点集，则（）。A.B.C.D.2.设是可测集上的简单函数列，，则（）。A.是上的简单函数；B.是上的可测函数；C.是上的可积函数。3.设，则是上的（）。A.绝对连续函数B.有界变差函数C.单调函数4.设是可测的，则（）。A.，均可测；B.又若可测，那么可测；C.又若，那么可测；D.又若可测，，那么可测。姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………二、简答题（2×6分=12分）1.试问Cantor函数是否是有界变差函数？是否是绝对连续函数？姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………是否是绝对连续函数？（说明理由，不必证明）2.叙述可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛、近一致收敛的定义，并说明它们之间的关系。（不需证明）姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………三、下列命题是否正确？若正确给出证明；若不正确举出反例。（5×7分=35分）1.设是有界可测集，在上可测,,，则。2.设，则且。姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………3.设，则，使得。4.设，则。5.设，，则.四、证明题（共41分）1.证明.（8分）姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………设，，证明：(1),(2).（10分）姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………3.（1）设，则.（5分）（2）若，则.（6分）姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………4.设是上的实值函数，若，闭子集且在上连续，证明是上几乎处处有限的可测函数.（12分）