高中数学 函数的概念与性质 教学研究.doc

-37-用心爱心专心专题讲座高中数学“函数的概念与性质”教学研究函数是中学数学中的重点内容它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.本专题内容由四部分构成：关于函数内容的深层理解；函数概念与性质的教学建议；学生学习中常见的错误分析与解决策略；学生学习目标检测分析.研究函数问题通常有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究二是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念函数的图象与性质函数的有关应用等.一、关于函数内容的深层理解（一）函数概念的发展史简述数学史角度：早期函数概念（Descartes1596—1650引入坐标系创立解析几何已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系）[几何角度]；Newton1642—1727用数流来定义流量（fluxion）的变化率用以表示变量间的关系；Leibniz1646—1716引入常量、变量、参变量等概念；Euler引入函数符号并称变量的函数是一个解析表达式[代数角度]；Dirichlet1805—1859提出是与之间的一种对应的观点[对应关系角度]；Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度].Dirichlet：认为怎样去建立与之间的关系无关紧要他拓广了函数概念指出：“对于在某区间上的每一个确定的值都有一个确定的值那么叫做的函数.”这种函数的定义避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述简明精确（经典函数定义）.Veblen1880－1960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了且打破了“变量是数”的限制变量可以是数也可以是其它对象.（二）初高中函数概念的区别与联系1．初中函数概念：设在某个变化过程中有两个变量如果对于在某个范围内的每一个值都有唯一的值与它对应我们就说是的函数叫自变量叫的函数.2．高中函数概念：（1）设AB是两个非空集合如果按照某种对应法则f对A中的任意一个元素x在B中有一个且仅有一个元素y与x对应则称f是集合A到集合B的映射.记作其中叫原象叫象.（2）设集合A是一个非空的数集对A中的任意数x按照确定的法则f都有唯一确定的数y与它对应则这种映射叫做集合A上的一个函数.记作.其中x叫做自变量自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的定义域.所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完全确定.（3）函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集值域中的每一个元素都有原象.构成函数的三要素：定义城值域和对应法则其中定义域和对应法则是核心.（三）函数在整个数学知识体系中的地位及作用函数是中学数学最重要的基本概念之一其核心内涵为从非空数集到非空数集的映射；函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一而函数概念是函数思想的基础；它不仅对前面学习的集合知识做了巩固和发展而且它是学好后继知识的基础和工具；函数与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切；函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其它学科中有广泛的应用；函数概念及其反应的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域是进一步学习数学的重要基础.（四）函数的概念与性质结构框图（五）函数的概念与性质教学重点和难点教学重点：1．函数的概念2．函数的基本性质3．基本初等函数的图象和性质教学难点：1．函数概念的理解2．对函数的单调性、奇偶性、周期性实质的把握3．运用基本初等函数的图象和性质解决简单问题二、函数概念与性质的教学建议：（一）如何深入把握函数的概念？1．映射与函数的教学建议：教学中由于映射与函数的概念比较抽象不易把握故本部分内容宜采用教师引导师生共同研讨的方式来学习.在教学中教师可以类似举如下的例子进行剖析：例1：设集合和都是自然数集合.映射把集合中的元素映射到集合中的元素则在映射作用下2的象是_______；20的原象是________.分析：由已知在映射作用下的象为.所以2的象是；设象20的原象为则的象为20即.由于随着的增大而增大又所以20的原象是4.这个例子要求学生理解映射的意义对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象.能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时题目中兼顾对于函数性质的探究具有一定的综合程度.2．函数的定义域问题：确定函数的定义域是研究函数问题的先决条件因此对于一个函数问题首先要明确自变量的取值集合.教学中教师可通过类似下述问题明确求函数定义域的几类常见问题：例2：求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1）由得所以或所以或.所以所求函数的定义域为.（2）由得或.所以所求函数的定义域为.（3）由得且所以所求函数的定义域为（4）由得