蒙特卡洛方法MC方法.doc

蒙特卡洛方法MC方法蒙特卡洛方法MC方法蒙特卡洛方法MC方法MCC方法蒙特卡罗方法的诞生蒙特卡罗方法的产生可追溯到Buffon投针实验。法国数学家Buffon用此实验来估算p值，它的原理是这样子的:在桌面上划一组间距为d的平行线，然后向桌面上随意抛掷长度为L的细针，从针与平行线相交的概率就可以得到p值.其中由积分性质可得投针置于平行线上的概率为假如在N次投针实验中，有M次与平行线相交，则有dL图3.2Buffon的投针实验dAxLsinx图3。3投针位置分析1930年，费米利用蒙特卡罗方法研究了中子的扩散,并设计了一个蒙特卡罗机械装置,用于计算核反应堆的临界状态。冯.诺依曼是蒙特卡罗方法的正式奠基者，他与StanislawUlam合作建立了概率密度函数、反累积分布函数的数学基础,以及伪随机数产生器，从而使得蒙特卡罗方法得以推广,成为科学领域一种常用的模拟方法。蒙特卡罗方法的基本思想对某一个待解决的物理问题（当这个物理问题可以抽象为数学问题时）建立一个概率模型，即确定某个随机事件X，使得待求问题的解等于随机事件X出现的概率或随机变量的数学期望值。然后进行模拟实验,重复多次地模拟随机事件X。最后对随机实验结果进行统计平均，求出X出现的频数作为问题的近似解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。具体来说:假设所要求的量x是随机变量QUOTE的数学期望QUOTE，那么近似确定x的方法是对QUOTE进行N次重复抽样，产生相互独立的QUOTE值的序列QUOTE、QUOTE、……、QUOTE，并计算其算术平均值:根据大数定理有因此，当N充分大时,下式成立的概率为1，亦即可以用QUOTE作为所求量x的估计值。用蒙特卡罗方法求解时，最简单的情况是模拟一个发生概率为P的随机事件A.考虑一个随机变量QUOTE，若在一次试验中事件A出现，则QUOTE取值为1；若事件A不出现,则QUOTE取值为0.令q=1-p,那么随机变量QUOTE的数学期望QUOTE，此即一次试验中事件Ａ出现的概率。QUOTE的方差QUOTE。假设在Ｎ次试验中事件Ａ出现v次，那么观察频数v也是一个随机变量，其数学期望QUOTE，方差QUOTE.令QUOTE，表示观察频率，那么按照加强大数定理，当Ｎ充分大时,式QUOTE=p成立的概率等于1。因此由上述模型得到的频率QUOTE近似地等于所求量p。这就说明了频率收敛于概率，而且可以用样本方差作为理论方差的估计值［13]。碰撞问题等离子体中存在大量运动着的电子、离子、中性粒子，它们之间不断发生着各种类型的碰撞.一般的蒙特卡罗碰撞是采用碰撞时间随机的方法。而PIC方法中的MCC模型不同于一般的蒙特卡罗碰撞.在PIC方法中，粒子推进和场推进的时间步长是固定的，采用在一个时间步长内随机决定粒子之间是否发生碰撞来实现蒙特卡罗碰撞[10]。首先给定初始电磁场和初始粒子，在电场和磁场的作用下按照牛顿力学及洛伦滋方程处理碰撞粒子对的位置和速度，得到一个时间步长后的粒子的新位置和速度。然后根据粒子运动前后的位置和速度，在空间网格上分配电荷、电流密度,最后利用Maxwell方程组求解新的电场和磁场。再在新的电场和磁场下更新粒子位置和速度,如此循环下去，模拟出等离子体的动态物理过程。并采用蒙特卡罗模型得到碰撞后的位置和速度.粒子1粒子2r1+r2为碰撞截面圆的半径r1r2图3。4碰撞截面示意图(摘自[12])两粒子发生碰撞的碰撞截面定义如上图所示，可得碰撞截面每个时间步长QUOTE内发生碰撞的概率：程序结构开始对粒子的位置和速度初始化是否碰撞YESNO按牛顿——洛伦滋力学分析粒子的受力算得下一时间步长的粒子的位置和速度重复上述步骤，直到粒子到达极板，计算粒子的统计平均值结束图程序流程图