几类非线性发展方程的孤立波与畸形波的研究.doc

几类非线性发展方程的孤立波与畸形波的研究在客观世界中,事物的发展往往会受到多个因素的影响,而不是由单一元素所形成的线性关系来决定。在这些无序的、不规则的、处于非平衡态的系统中,多个变量之间共同作用,导致了这些非线性现象的产生。从数学角度来看,这些非线性现象可以用非线性发展方程来描述。借助非线性发展方程的数学研究方法,可以更加清晰地展现这些非线性模型的物理演化过程,有助于人们理解很多自然现象的发展规律和本质特征。本文主要应用Hirota方法和Darboux变换方法,对非线性光纤光学、生物学、海洋动力学领域中的几个非线性发展方程进行了解析研究,讨论了这些方程的孤子解、畸形波解以及呼吸子解,继而分析了孤子、畸形波以及呼吸子的传播以及相互作用性质。本文的主要内容安排如下:第二章研究光纤通信领域中的常系数二耦合三阶色散非线性薛定谔方程,即耦合Hirota方程。耦合Hirota方程描述了超短脉冲在双折射或者双模光纤中传播的波动力学性质,且常用在描述海洋动力学中的模型。我们分别考虑混合机制和散焦-散焦机制两种情况下的耦合Hirota方程。利用Darboux变换,推导耦合Hirota方程两种不同的一阶局域波解和两种不同的二阶局域波解,考察移动呼吸子、Akhmediev呼吸子、Kuznetsov-Ma孤子、时间-空间周期呼吸子、多峰孤子和反暗孤子。研究方程中的呼吸子-孤子转换现象、呼吸子与暗孤子之间的弹性相互作用,以及反暗孤子与暗孤子之间的非弹性相互作用。第三章研究光纤通信领域中的常系数三耦合三阶色散非线性薛定谔方程,即三耦合Hirota方程。三耦合Hirota方程不仅用于描述长途通信模型和超快信号路由系统中的光脉冲传播,而且可以描述在高阶连续极限下的α螺旋蛋白质的近邻之间的相互作用。利用Darboux-dressing变换,得到了方程的畸形波解,考察三耦合Hirota方程的四花瓣型畸形波,以及复合畸形波分裂为几个单独畸形波的现象,并给出这种现象的发生条件。此外,进行线性不稳定分析,考察了三耦合Hirota方程的基带调制不稳定性。第四章研究光纤通信领域中的变系数三耦合非线性薛定愕方程,该方程描述了不同频率或极化的皮秒脉冲在非均匀多分量光纤中传播的放大或衰减。基于Darboux-dressing变换,推导方程的半有理畸形波解,考察半有理畸形波、Peregrinecomb和Peregrinewall的传播性质,Peregrinecomb的波峰分裂现象,以及Peregrinewall的能量衰减现象。讨论了群速度色散、非线性效应和光纤增益/损耗在不同的光纤系统中对非线性波的影响。第五章研究光纤通信领域中的(3+1)维非线性薛定谔方程,该方程描述非均匀光纤中光脉冲慢变波包的演化性质。利用Hirota方法和符号计算,推导方程在一定参数约束下的双线性形式和暗多孤子解,考察线型、抛物型和周期型暗孤子的传播性质,分析双暗孤子之间的相互作用现象。第六章研究非均匀介质中具有变参数的广义(2+1)维Nizhnik-Novikov-Veselov方程,该方程常用在描述浅水波、晶格动力学、离子声波和等离子体物理领域中的模型。借助Hirota方法和符号计算,推导方程的双线性形式、N孤子解和Backlund转换,研究孤子之间的相互作用,以及一阶和高阶色散项对孤子传播的影响。