守恒型分数阶扩散方程的混合有限元数值方法.doc

守恒型分数阶扩散方程的混合有限元数值方法本文讨论由双边Riemann-Liouville导数刻画的守恒型分数阶扩散方程,这里K是扩散系数,f∈L2(Ω)是源项或汇项；D=(?)是一阶导数算子,0(?)和(?)是由(2.2.1)和(2.2.3)式定义的β阶左、右Riemann-Liouville分数阶积分算子.(?)分别对应左、右Riemann-Liouville导数刻画的单边分数阶扩散方程.上述分数阶扩散方程刻画了依赖于全局性态的反常或非菲克扩散现象.为了满足工程应用中对扩散通量的辨识需求,无论是传统的二阶扩散方程还是分数阶扩散方程,所设计的数值方法都应同时关注未知函数及其通量,且满足质量守恒律以反映扩散问题的原始数学物理特征.与二阶扩散方程比较,分数阶微积分算子的非局部性质导致其数值离散格式的系数矩阵为非稀疏矩阵,计算复杂性显著增大.因此,构造快速算法也已成为高性能数值模拟分数阶扩散问题的极富挑战性的内容之一对此,本文中我们基于鞍点理论与负指数分数阶导数空间,引入分数阶通量p=-K(θ0Ixβ+(1-θ)xI1β)q与导数q=DU作为中间变量,在H1(Ω)×H-β/2)(Ω)×L2(Ω)上建立了与分数阶扩散问题等价的混合变分原理.据此,构造了能同时高精度数值逼近未知函数、扩散通量以及未知函数导数的扩展混合有限元方法.理论分析表明,文中所构造的扩展混合有限元离散格式逐单元保持质量守恒,这一点对实际的工程计算是至关重要的；离散格式的解存在唯一,且具有对未知函数、分数阶扩散通量及其函数导数具有在某种意义的最优L2或H-β/2-模收敛精度.在收敛性分析中,我们摒弃了文献[16]中基于未经证明正则性假定的对偶论证方法,代之以利用真解在相应空间上投影的良好逼近性质,建立了不依赖于对偶问题正则性假定的最优阶收敛性理论.我们还给出一系列数值实验结果,表明文中所提离散格式具有与收敛性理论分析相匹配的数值逼近精度,从而说明了离散格式的有效性.注意到分数阶微分算子的非局部性质所导致的离散问题系数矩阵复杂性,若使用传统的高斯迭代法求解,将会产生O(N3)和O(N2)的计算量与存储量,致使计算时间过长甚至无法运行.因此,设计快速求解上述离散格式的有效算法是十分必要的.我们发现,离散格式的刚度矩阵可分块为四个零阵、四个稀疏矩阵和一个Toeplitz矩阵,而快速傅里叶变换在求解具Toeplitz型矩阵的矩阵-向量积时,具有理想的计算量O(NlogN)鉴于此,我们将快速傅里叶变换与共轭梯度法结合,构造出了每次迭代计算量为O(NlogN),存储量为O(N)的扩展混合有限元快速算法(FCG),较高斯消去法有了明显的改善.遗憾的是,在设计的FCG中,由于混合有限元离散格式系数矩阵的病态性质,造成了迭代次数强烈的依赖于未知量个数N,使FCG的计算量未达到理想的O(NlogN).对此,我们将预处理技术与FCG相结合,设计了扩展混合有限元预处理快速算法(PFCG).数值实验表明,PFCG的迭代次数不依赖于未知量个数,计算量与存储量分别达到了理想的0(NlogN)和O(N).