几类非线性发展方程和方程组解的性质的研究.doc

几类非线性发展方程和方程组解的性质的研究利用非线性发展方程描述并研究物理、工程力学和经济等领域中的关于时间变化的非线性问题，是非线性偏微分方程研究领域的一个重要研究方向。本文主要研究来自于粘弹性力学和结构力学的几类非线性发展方程（组）解的整体存在和整体解的渐近行为，解的爆破性质和生命跨度。全文主要内容安排如下：第二章探讨了具有阻尼项和非线性源项的非线性粘弹性波动方程组的初边值问题，在一定的假设条件下，我们给出了解在任意初始能量（E0）下爆破的充分条件，我们技巧上使用并推广了Levine的凸方法，然而他的技巧不能直接用到我们的情形。同时给出解的爆破时间的上界估计。第三章讨论了具有Balakrishnan-Taylor阻尼和非线性源项的非线性粘弹性波动方程组。通过对粘弹性项和初始值进行适当的限制，利用位势井理论得到整体解存在的充分条件，并运用扰动能量方法得到了显式的和松弛函数相似类型的能量一致衰减估计。对退化成单个方程的情况，我们通过对粘弹性项不同的假设限制，利用凸函数的性质、精细的能量估计和扰动能量方法，得到某种意义上更一般形式的解的显式能量衰减公式。在第四章中，我们研究了一类具有结构阻尼的非线性粘弹性梁方程组的整体存在性和爆破性。首先利用Faedo-Galerkin方法和位势井方法给出了整体弱解存在的充分条件，进一步，利用Nakao差分不等式，对能量的衰减性质进行研究，证明了能量以指数速率衰减。在一定的条件下，我们讨论了整体解的不存在性，并估计了解的生命跨度。在第五章中，我们研究了边界上带有分数阶阻尼的Kirchhoff型方程解的爆破性质。通过定义合适的能量函数，在一些初始能量和参数的假设下，我们研究了解在有界正初始能量发生有限时间爆破现象。接下来，进一步弱化对参数的假设条件，我们证明了如果初始数据足够大的话，该能量函数会在有限时刻趋于无穷，而且给出了这两种爆破现象的时间上界估计。