第16讲-数学：无穷级数(一)(2010新版)-.doc

第四节无穷级数一、数项级数（一）常数项级数的概念和性质1．常数项级数的概念数列un（n=1,2,…）的各项依次相加的表达式称为无穷级数，第n项un称为级数的一般项或通项，前n项之和Sn=称为级数的部分和。若=S存在．则称级数收敛，并称级数的和为S;若不存在，则称级数发散。当级数收敛时，rn=称为级数的余项，有=0。2．常数项级数的性质（1）若=S,则=k=ks（k为常数)；（2）若=S，则vn=T,则（unvn)=vn=ST;（3）收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和；（4）在级数中改变有限项，不影响其收敛性；（5）若级数收敛，则＝0；反之，不一定成立。3．典型级数（l）几何级数aqn-1，当q<1时，收敛于，当q1时，级数发散；（2）p-级数（p>0)，当p>1时，级数收敛，当0＜p1时，级数发散.（二）常数项级数的审敛法1．正项级数审敛法若级数，其中un0（n=1,2，…），则称级数为正项级数。（l）收敛准则：正项级羚收敛的充分必要条件是其部分和有界。（2）比较审敛法：设、vn为正项级数，对某个N>0，当n＞N时，0unCvn（C>0为常数）。若vn收敛，则收敛；若发散，则vn发散。比较审敛法的极限形式：若＝l（vn0)，则当0＜l＜十时，和vn同时收敛或同时发散。（3）比值审敛法：设为正项级数，若=l，则当l<l时，级数收敛；当l>1或l=+时，级数发散；当l=1时，级数可能收敛也可能发散。（4)根值审敛法：设为正项级数，若=l,则当l<l时，级数收敛;当l>1或l=+时，级数发散；当l=1时，级数可能收敛也可能发散。2．任意项级数审敛法若级数，其中un（n=1,2，…）为任意实数，则称级数为任意项级数。若级数的各项正负交替出现，即可写作（-1）nun（un>0）或（-l）n+lun（un＞0），则称级数为交错级数。若级数为任意项级数，而级数un收敛，则称级数绝对收敛；若收敛，而un发散，则称级数条件收敛。（l）莱布尼兹判别法：若交错级数（-l）nun（un＞0）满足：1）unun+1（n＝1,2…）;2）un=0，则级数（-1）nun收敛，且有余项rnun+1（n＝1,2,…）（2）若任意项级数绝对收敛，则该级数收敛。（3）设为任意项级数，若=l（或＝l），则当l<1时，级数绝对收敛；当l>1或l=+时，级数发散；当l=1时，级数可能收敛也可能发散。