矩阵可对角化的总结.doc

矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n级方阵的可对角化讨论。［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～B。矩阵P称为由A到B的相似变换矩阵。定义2：设A是一个n级方阵，如果有数和非零向量X，使AX=X则称是矩阵A的特征值，X称为A的对应于的特征向量，称为矩阵对应于特征值的特征子空间。定义3：设A是数域上一个n级方阵，若多项式，使则称为矩阵A的零化多项式。定义4：数域上次数最低的首项为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式。首先从特征值，特征向量入手讨论n级方阵可对角化的相关条件。定理1：一个n级方阵A可对角化的充要条件它有n个线性无关的特征向量。证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P，使即把矩阵P按列分块，记每一列矩阵为即于是有=，即于是有。由特征值，特征向量定义，表明P的每一列都是A的特征向量，因为P是可逆的，因此是A的n个线性无关特征向量，其中为A的特征值。充分性：若A有n个线性无关的特征向量则有，其中是对应于特征向量的A的特征值。以为列作矩阵，因为线性无关，所以矩阵P是可逆的。由===则有即A与对角矩阵相似从以上证明中可知：与矩阵A相似的对角矩阵主对角线上的元素是A的特征值，而相似变换矩阵P的列是A的n个线性无关特征向量。在主对角线上的次序应与其对应的特征向量在P中的次序相对应，如果的次序改变，那么在P中的次序也要作相应的改变。但这时P就不是原来的P了。因此相似变换矩阵不是唯一的。若不计的排列顺序，则对角矩阵是唯一的，称它为A的相似标准形。由相似是一种等价关系知：与A相似的矩阵都有相同的相似标准形。定理2：矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。由此给出了一个推论：n级方阵可对角化的充分条件A有n个互不相同的特征值。证明：由定理1及定理2可得。但这个推论的逆不成立。例如：n级单位阵E，显然它是可对角化的，但它的特征值为1(n重根)。那我们要问若有重根时，要满足什么条件才可对角化定理3：阶矩阵可对角化的充要条件是：的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于特征值的重数(即的每个特征子空间的维数等于特征值的重数)这个定理又可以这样叙述：矩阵的每个特征值的代数重数等于对应子空间的(几何)重数。引理1：如果是矩阵的不同特征值，而是属于的线性无关的特征向量，那么向量组也线性无关。即：给出一个级矩阵，求出属于每个特征值的线性无关向量，把它们合在一起也是线性无关的。引理2：设是阶矩阵的一个重特征值，对应于的特征向量线性无关的最大个数为，则。证明：反证法。设，由已知。(1)线性无关。将扩充为维向量空间的一组基：其中一般不是的特征向量，但，可用上述的一组基线性表示，即其中(2)用矩阵可表示为：(3)记则是可逆的。因此上式可表为根据相似矩阵有相同的特征多项式，得(4)令是的次多项式，由(4)式知至少是的()重特征值。与为的重特征值，矛盾，所以。由上面的两个引理作基础，下证定理3：证明：不妨设其中又。(在复数域中)充分性：由于对应于的特征向量有个线性无关，又个特征值互异。由引理1知有个线形无关的特征向量，依据定理1，与对角阵相似。必要性：用反证法：设有一个特征值所对应的线性无关的特征向量的最大个数的重数为，则由引理2知，的线性无关的特征向量个数小于，故不能对角化，与题设矛盾，假设不成立。即的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于特征值的重数。推论：级方阵可对角化的充要条件是对于的每一个特征根，有秩，其中是的重数。证明：的解空间的维数等于特征值的重数即维（由定理3知）。又维秩。所以，秩成立。以上给出的可对角化的几个条件都是以特征值，特征向量为基础。其中条件1（也是定理1）是最基础的，可以把它看作是矩阵可对角化的实质。其它条件都是它的扩展。下面我们用矩阵及若尔当标准形来讨论矩阵可对角化。定理4：复数域上每一个阶矩阵都与一个若尔当标准形相似。这个若当形矩阵除去