勾股定理几种证明方法的探索与思考.doc

勾股定理几种证明方法的探索与思考淮南师范学院2009届本科毕业论文勾股定理几种证明方法的探索与思考摘要本文讨论了勾股定理的几种证明方法和勾股定理的一些应用。AbstractInthispaper,wediscussseveralmethodsofproofaboutPythagoreanpropositionandapplicationsofPythagoreanproposition.关键词勾股定理，证明，演绎法KeywordsPythagoreanproposition，proof，deductivemethod引言2002年8月第24届国际数学大会在北京召开，这是从国际数学大会举行以来首次在我国召开，说明了中国的数学在国际上的地位。在本次大会上，随处都能看到一个旋转的纸风车，它就是这次大会的标志。这个图形是根据赵爽《周脾算经注》中的“弦图一”为模板进行设计[1]的。这个图案的设计充分说明了勾股定理在数学中的地位。对于勾股定理的由来，各国各民族都有不同的文字记载，但中华民族是最早发现勾股定理的民族之一。勾股定理是一坛千年佳酿，另人陶醉神往。它以其简洁,优美的形式，丰富深刻的内容，展现了自然界的和谐与唯美。1.勾股定理的证明勾股定理是数学中一条有名的定理，它是几何学的基础知识，在《基础几何学》[2]中对它进行了详细的介绍。目前勾股定理的证明方法已有500多种，每种证明方法大都把几何知识与代数知识相结合，充分体现了数形结合思想的魅力，转化思想的巧妙。1.1拼图法拼图是数学中经常遇到的，它能充分体现出实践的作用，。下面我们就用拼图的方法来证明勾股定理。1.1.1拼法一：用四个相同的直角三角形（直角边长分别为a、b，斜边长为c），把他们拼成一图.如图（1）在图1中，可以用两种方法把正方形ABCD的面积表示出来，即：(1)(2)由此可得：化简后即为：1.1.2拼法二：用四个完全相同的直角三角形（直角边长分别为a,b,斜边长为c）,如图2正方形ABCD的面积也能用两种方法表示出来，即：（1）（2）由（1）（2）得化简后可得到：不难发现拼法一与拼法二都是用四个直角三角形。接下来我们用两个直角三角形拼一拼。（这种方法是美国的一位总统发现的）1.1.3拼法三：在1876年一个周末的傍晚，当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德发现，附近的一个小凳上有两个小孩子在谈论着什么，好奇心驱使伽菲尔德问两个小孩在干什么？其中一个小男孩头也不抬地说：“请问先生如果直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边长为多少？”伽菲尔德答到：“5呀”。小男孩又问到：“如果两直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索的回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。“小男孩又说道：’先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞。当晚他潜心探讨小男孩留给他的问题，经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了一个极其简捷的证明方法，如图，就是伽菲尔德的证明方法△ABC与△ECD是一对同样的三角形,两直角边长分别为a和b,斜边长为c.我们很容易知道△AED也是直角三角形,两直角边长为c,梯形ABCD的面积可以用两种方法表示出:①②有①②两式可得：化简后得：从以上三例我们能看到拼图这种方法的巧妙,但其思路还是离不开数形结合。拼法一这种方法是在西方广为流传的毕达哥拉斯等人的基础上被发现的.拼法二则是中华民族的发现,在《数学史概论.》.[3].一书中对此作了详细的说明。用拼图来证明勾股定理是一种简单又明了的方法,有好多学者在这方面都有研究,也有专门的文章出现.[3]1.2.1演绎法在许多有关勾股定理的证明方法中,有一种方法最为古老,而且对后来的影响有比较大,这种方法就是演绎法,是古希腊数学家欧几里德发现的.在他所著的《几何原本》中给出了这种方法。如图直角三角形ABC的AC边长为a，AB边长为b,斜边CB长为c.正方形ACGF边长为a,正方形ABHI边长为b,正方形CDEB边长为c.证明过程如下:连接GB,AD,CH,AE,过点A做AK垂直于BE交DE与点K。因为CG=CA,CB=CD,∠GCB=∠ACD.容易知道△ACD≌△GCB，又因为所以①同理：因为所以又因为所以②又①+②可以得到即欧几里德的这种演绎思想对后来的数学发展起到了很大的作用,更直接的作用是给勾股定理的证明方法提供了一个全新的思路。看下面一例首先画直角三角形ABC,（如图）设点C为直角顶点,(斜边长为c,两直角边长分别为a,b),分别以直角边BC,AC为一边画正方形BCDE,ACFG,以斜边AB为一边画正方形ABJK.接着连接DF,容易知道△ABC≌△FDC,从而六边形ABEDFG的面积是以BC