定角定轨问题.doc

(完整版)定角定轨问题(完整版)定角定轨问题(完整版)定角定轨问题定角定轨问题初探─濒湖晨光学校石＊成【2014年八年级期末第26题第3问】大意是：已知AB：，动点P是第四象限的一点，且∠OPB=135°,试判断AP与BP的位置关系，并说明理由．【参考答案提供的方法】延长PB到P′，过O作OP′⊥BP′，二者交于点P′．∵∴∵∴∵∴即∵∴∴≌∴又,∴即【反思】学生考试时，我未参加监考，也在做这份试题，因为ΔAOB是等腰直角三角形，所以首先想到将ΔOBP绕O点逆时针旋转90°,明知旋转后BP是落在AP上，但不好表达，就放弃了，另辟途径；当时没有想到参考答案提供的方法．现在再回想一下，参考答案的方法其实也是一种旋转：不过所选择不是ΔOBP，而是ΔOAP绕O点顺时针旋转90°,虽然两者实质是一样的，但后者更易入手证明；估计初次解答这道题的师生可能也有类似的经历．因为犯难了，所以只好打开几何画板，按题意作图．在作图过程中，首先必须面对∠OPB=135°如何作出？这样很自然地就想到了P点的轨迹问题，应该是一段圆弧，再想到∠OAB=45°，∠OPB=135°,这一对对角互补，就有了O、A、B、P四点共圆，又由于∠AOB=90°，就确定了圆的直径，接着就确定了圆心，思路定下来之后，就写了几句，写完就跑到打印室，在学校办公的电脑上传到群中（我自己的电脑是386，内存256M，太小太老，没法联网），这就是在群中所说的证明方法．虽然这种方法对八年级学生不适用，但却是本题最简单的一种证明方法．接下来又以本题为基础，新编制了若干定角问题,以问题征解的形式将其中一道题发给清水河中学的卢老师,请他思考．没想到，居然解答出来了！只是他不敢确定他的结果（他本人感觉得数有点怪）是否正确,要我确认，我没有具体去做，只看了一下思路没错，卢老师，高人！实在是高人！卢老师在白纸上写了一个简单的解答提纲，然后用手机拍照，将照片发到群里,大家若有兴趣，可回头再查看一下，题目中P点应改为M，是我打错了．以下是原题及完整解答：(本人一向粗心大意，下面可能还有错漏之处，如此，请热心同仁指正，以便修改）【问题征解】如图,线段AB:及线段：BC:，动点M是线段BC上的一个动点，过O、B、M三点的圆交AM于N，试求BN的最小值．【解】由AB：及BC:知，,，连接ON，则，于是(定值），故N点的轨迹是一段圆弧，即EQ\o\ac（ONA，\s\up9(︵）），设EQ\o\ac（ONA,\s\up9(︵)）所在的圆的圆心为D，⊙D交y轴于E，连接DA、DN、DB、DE，记DB交⊙D于N′．∵∠AOE=90°，故AE为⊙D的直径，且E、O、N、A四点共圆，∴，又，∴，在RtΔAOE中，,∴,∴AB为⊙D的切线，又可知⊙D的直径，∴，∴，又，故，在中，BD-DN≤BN（等号仅当B、N、D三点共线时取得），即≤BN，即BN的最小值是．【说明】本题根据2014年蕲春县八年级期末考试第26题第3问编制而成，用九年级的知识解答，仅供有兴趣的教师参考，不宜介绍给一般学生,可供个别培优学生学完圆的相关知识思考，本题主要考点是：定角则定弧,定弧则定圆,即（定值）,则过O、N、A三点是一定弧．下面是新编制与此相关的问题(为表达这类问题的一般性，线段长度均以字母表示,过程具略，每题之后均附有参考答案，不一定可靠，仅供参考）:【问题1】已知P点是边长为a的正方形ABCD的边DA延长线上的一动点，ΔABP的外接圆交CP于一点Q，求AQ的最小值．问题2图问题1图【问题2】在等腰RtΔABC中，AB=CB=a,AP∥CB，ΔABP的外接圆交CP于一点Q，求AQ的最小值．【问题3】在等腰RtΔABC中，AB=AC=a,AP∥CB，ΔABP的外接圆交CP于一点Q，求AQ的最小值．问题4图问题3图【问题4】矩形ABCD中,AB=b，BC=a，P点是DA延长线上的一动点,ΔABP的外接圆交CP于一点Q，求AQ的最小值．【问题5】在边长为a的等边ΔABC中，AP∥CB，ΔABP的外接圆交CP于一点Q，求AQ的最小值．问题5图与定角定轨问题相关的中考题【2013年武汉中考题】如图,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF交BD于点G，连接BE交AG于H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是以上问题是从专题研究上进行探讨，是另类几何极值问题，不适合大多数学生，仅供有兴趣同仁参考，如有引用面刊,请电：13995909691