紧致差分格式的构造和验证 9000.docx

南京师范大学本科毕业论文南京师范大学毕业设计（论文）（2015届）题目：紧致差分格式的构造和验证学院：数学科学学院专业：信息与计算科学姓名：周昊学号：06150214指导教师：王雨顺摘要目前，紧致差分格式已逐渐成为差分方程的数值方法的主要方向。具有良好特性的高精度的紧差分格式相继构造出来并能够应用到一些特殊的问题的数值求解，显现出了良好的效果。本课题针对紧致差分格式这一研究方向，希望能够通过MATLAB等软件的辅助以及前人对紧致差分格式的研究帮助对紧致差分格式进行构造一种差分格式，并且通过解微分方程的数值解实验对紧致差分格式进行验证其稳定性、收敛性以及误差等特性，最终能够比较直观了解这类紧致格式差分方法的精度等。关键词:有限差分；差分格式；构造ABSTRACTAtpresent,compactdifferenceschemeshavegraduallybecomeamainresearchdirectionofthenumericalmethodofdifferentialequations,andthecompactdifferenceschemeswithhighprecisionandgoodcharacteristicshavebeenconstructedoneafteranotherandappliedtothenumericalsolutionofsomespecificproblems,andgoodresultshavebeenachieved.Thistopicforcompactdifferencescheme,theresearchdirectionofhopecanthroughMATLABsoftwaresuchasaidedandpreviousstudyofcompactdifferenceschemetohelptoconstructacompactdifferenceschemedifferencescheme,andbysolvingthedifferentialequationnumericalsolutionofexperimentstoverifyitscompactdifferenceschemefeaturessuchasstability,convergenceanderror,finallycanmoreintuitiveunderstandingofthecompactformattheprecisionofthefinitedifferencemethod,etc.Keywords：Finitedifference;Differencescheme;Structure目录摘要2ABSTRACT31引言51.1有限差分方法简介51.2紧致差分法研究概况51.2.1抛物线方程51.2.2椭圆型方程61.2.3双曲线方程61.3本文研究内容62常见差分格式72.1显式差分格式72.1.1古典显式格式的推导72.2隐式差分格式82.2.1古典隐式格式的推导82.3Crank-Nicolson隐式格式102.4交替方向隐式格式112.4.1Peaceman-Rachford格式122.4.2Douglas-Rachford格式122.4.3Mitchell-Fairweather格式122.4.4交替方向隐式格式算法步骤123紧致差分格式分析133.1抛物线方程133.1.1抛物线方程的一种高精度紧致差分方法133.2椭圆型方程133.2.1一维椭圆型方程的解法133.2.2二维椭圆型方程的解法143.3双曲型方程153.3.1双曲线方程一种解法153.3.2双曲线方程的常见数值解法164实例分析与结果分析174.1数值算例174.1.1已知有精确解的热传导问题174.1.2未知精确解的热传导问题184.2结果分析184.3r变化对稳定性的探究194.3.1P-R格式格式的稳定性194.4本文研究的热传导方程205总结25参考文献261引言有限差分方法简介重要的数值离散方法其中有有限差分方法（FDM），在研究、计算中有着广泛运用。有限差分法具有计算少、格式小、程序少等很多长处，尤其适合于偏微分方程的近似求解。有限差分法基本问题有：构造逼近微分方程定解问题的差分格式；研究差分解的存在唯一性、收敛性及稳定性；差分方程的解法等。创造出差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒方法。总的来说，一阶向前差分、一阶向后差分、二阶中心差分等都是比较常见的差分公式。这些年，有限差分方法有了很大的发展。在研究传统差分格式的基础上，学者们开始关注高精度的有限差分格式及其应用。高精度格式的采用放松了对网格步长的要求，采用计算区域内较少的格点得到较高精度的数值解，改进了求解效率，具有十分重要的理论