实数知识点总结.pdf

实数平方根的有关概念夯实基础1．算术平方根名称定义表示方法举例一般地，如果一个正数x的平方等于a，非负数a的算术平方2如525，那么52即xa，那么这根记作“a”，读叫做25的算术平方算术平方根个正数x叫做a的算作“根号a”，其中根（或者说25的算术平方根。规定0的a叫做被开方数术平方根是5）算术平方根是0①一个正数a的平方根有两个，分别为a和a，我们把正的平方根a叫做a的算术平方根。温馨提示②一个正数的算术平方根是一个正数；零的算术平方根仍为零；负数没算术平方根。例1：写出下列各数的算术平方根。81（1）0.0009；（2）；（3）52。492．平方根1.定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。即如果2x2a，那么x就叫做a的平方根。如：24，所以4的平方根是2；23993，所以的平方根是；020，所以0的平方根是0。5252552.表示方法一个数a的正的平方根，用符号“2a”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，a的负平方根用“2a”表示，根指数是2时，通常省略不写。如2a记作a，读作“根号a”，2a记作a，读作“正、负根号a”。温馨提示①任何数的平方都不能为负数，所以负数没有平方根。②“5是25的平方根”这种说法是正确的，反过来说“25的平方根是5”就错了，因为“正数有两个平方根”，所以必须说“25的平方根是±5”。③求一个数的平方根就是把平方后等于这个数的所有数都求出来，而判断一个数是不是另一个数的平方根，只要把这个数平方，看其是否等于另一个数即可。3.平方根的性质（1）一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作a。（2）零的平方根是零。（3）负数没有平方根。温馨提示①a0时，a表示a的算术平方根，a表示a的平方根。②因为负数没有平方根，所以被开方数a0。如x3中隐含着x30，即x3这一条件。22a,a0,③aaa0，aa,a0.例2：判断下列说法是否正确，并说明理由。（1）6的平方根是36；（2）1的平方根是1；（3）-9的平方根是3；（4）36119；（5）9是92的算术平方根。3．平方根与算术平方根的区别与联系算术平方根平方根如果一个正数x的平方等于a，即如果一个数x的平方等于a，即概念x2a，那么这个正数叫做a的算x2a，那么这个数叫做a的平方区术平方根根或二次方根别表示方法aa性质正数只有一个算术平方根，且恒正；正数有两个平方根，且互为相反数；规定00；负数没有算术平方根0的平方根是0；负数没有平方根求法开平方后取非负的平方根开平方（1）a的取值范围相同，均为a0；联（2）平方根中包含了算术平方根，即算术平方根是平方根中的一个，平方根中非负系的那一个即为算术平方根。掌握方法1．开平方的方法求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算与平方运算互为逆运算。a表示非负数a的平方根，a表示非负数a的算术平方根，a表示非负数a的负的平方根。例1：下列各式中正确的是（）A.323B.323C.323D.3232．平方根的性质的应用方法要判断一个数有无平方根或平方根有几个，关键是确定这个数是正数、负数还是0。如果m,n是正数a的平方根，那么有mn或mn0；但如果正数a平方根是m,n，那么只能有mn0。例2：如果一个数的平方根是x3与2x15，那么这个数是多少？三．利用平方根的概念解方程的方法一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0只有一个平方根，负数没有平方根。在解方程时，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值。例3：求下列各式中的x的值。（1）x2361；（2）81x2490；（3）49x2150；（4）3x1252。实数立方根的有关概念夯实基础1．立方根1.立方根名称定义表示方法举例一般地，如果一个数数a的立方根记作“如53125，x的立方等于a，即3a”，读作“三次根立方根3那么5叫做xa，那么x叫做号a”，其中a叫做被125的立方根a的立方根或三次方根开方数①负数没有平方根，但有立方根。②根据立方根的概念可知：“5是125的立方根”，反过来说“125温馨提示的立方根是5”也正确。③判断一个数x是不是某数a的立方根，就看x3是不是等于a。例1：求下列各数的立方根：27（1）；（2）27；（3）0.216。642.立方根的性质（1）正数只有一个正的立方根；（2）负数只有一个负的立方根；（3）零的立方根为零。温馨提示①一个数的立方根是唯一的。②正数的奇次方根时正数，负数的奇次方根是负数，零的任何正整数次方根均为0。3③3a3a、3aa、3a3a，公式中的a可取任意数。