数学归纳法典型例题.pdf

【知识梳理】数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n=n0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k（）时命题成立，证明当时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。【要点解析】1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。2、运用数学归纳法时易犯的错误（1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。（3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。【典型例题】例1.用数学归纳法证明：时，。解析：①当时，左边，右边，左边=右边，所以等式成立。②假设时等式成立，即有，则当时，，所以当时，等式也成立。由①，②可知，对一切等式都成立。例2.。例3.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立。那么当时，，∴时，不等式也成立。由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。例4.若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论。解析：取，。令，得，而，所以取，下面用数学归纳法证明，，（1）时，已证结论正确（2）假设时，则当时，有，因为，所以，所以，即时，结论也成立，由（1）（2）可知，对一切，都有，故a的最大值为25。例5.用数学归纳法证明：能被9整除。解析：方法一：令，（1）能被9整除。（2）假设能被9整除，则∴能被9整除。由（1）（2）知，对一切，命题均成立。方法二：（1），原式能被9整除，（2）若，能被9整除，则时∴时也能被9整除。由（1），（2）可知，对任何，能被9整除。点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。例6.求证：能被整除，。解析：（1）当时，，命题显然成立。（2）设时，能被整除，则当时，。由归纳假设，上式中的两项均能被整除，故时命题成立。由（1）（2）可知，对，命题成立。例7.平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成个部分。解析：①时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立。②假设时，个圆将平面分成个部分，当时，第k+1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将圆分成2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k+1个圆将平面分成个部分，即个部分。故时，命题成立。由①，②可知，对命题成立。点评：用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。例8.设，是否存在关于自然数n的函数，使等式对于的一切自然数都成立？并证明你的结论。解析：当时，由，得，当时，由，得，猜想。下面用数学归纳法证明：当时，等式恒成立。①当时，由上面计算知，等式成立。②假设成立，那么当时，∴当时，等式也成立。由①②知，对一切的自然数n，等式都成立。故存在函数，使等式成立。点评：（1）归纳、猜想时，关键是寻找满足条件的与n的关系式，猜想的关系未必对任意的都