拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用.doc

精选可编纂拉格朗日乘数法在花费者平衡原那么中的使用在应用偏导数求多元函数的极值时，假定函数的自变量有附加前提，那么称之为前提极值。这时，可用拉格朗日乘数法求前提极值。详细办法如下:拉格朗日乘数法：设给定二元函数z=ƒ(x,y)跟附加前提φ(x,y)=0，为寻寻z=ƒ(x,y)在附加前提下的极值点，先做拉格朗日函数L(x,y)=ƒ(x,y)+λ(x,y)，此中λ为参数。求L(x,y)对x跟y的一阶偏导数，令它们即是零，并与附加前提联破，即L＇x(x,y)=ƒ＇x(x,y)+λφ＇x(x,y)=0，L＇y(x,y)=ƒ＇y(x,y)+λφ＇y(x,y)=0，φ(x,y)=0由上述方程组解出x，y及λ，如斯求得的(x,y)，确实是函数z=ƒ(x,y)在附加前提φ(x,y)=0下的能够极值点。微不雅经济学研讨花费者行动时，所要论述的中心咨询题是花费者平衡的原那么。所谓花费者平衡指的是一个有感性的花费者所采用的平衡购置行动。进一步说，它是指保障花费者完成功效最年夜化的平衡购置行动。但人的需求或愿望是有限的，而满意需求的手腕是有限的。因此微不雅经济学所说的功效最年夜化只能是一种有限度的功效最年夜化。而这种限度的要素确实是种种商品的价钱跟花费者的货泉支出水平。起首，咱们先引入一些名词说明:总功效(TU):花费者在必定时刻内花费必定数目某种商品或商品组合所失掉的总的满意。边沿功效(MU):花费者在一切别的商品的花费水平坚持稳定时，添加花费一单元某种商品所带来的满意水平的添加，也确实是说指添加一单元某种商品所惹起的总功效的添加。商品数目(Q)，商品价钱(P),支出(I)边沿功效的公式表白为:MU=∂TU/∂Q那么怎样才干实如今制约前提下功效最年夜化的商品组合呢？确实是当花费者把全体支出用于购置种种商品时，他从所购置的每一种商品所失掉的边沿功效与其价钱的比例都一样，如斯的商品组合确实是最准确的或平衡的商品组合。假定当花费者抉择两种商品x,y时，花费者平衡原那么的公式表白为:MUx‗MUyPxPy制约前提的公式表白式为:I=Px∙Qx+Py∙Qy。那么这一论断是怎样推导出来的呢？处理这一咨询题最直截了当的办法确实是拉格朗日乘数法。设功效函数U(Qx,Qy),为使它在制约前提下获得极值，起首树破拉格朗日函数:L=U(Qx,Qy)+λ(I-Px∙Qx-Py∙Qy)，λ为参数。求L(x,y)对x跟y的一阶偏导数，令它们即是零，并与附加前提连破。即∂L/∂Qx=∂U/∂Qx-λPx=0⑴∂L/∂Qy=∂U/∂Qy-λPy=0⑵I-Px∙Qx-Py∙Qy=0⑶将方程⑴除以方程⑵，得:∂U/∂Qx‗Px即MUx‗MUy∂U/∂QyPyPXPy因此，花费者要完成两种商品的功效最年夜化，边沿功效的比率应当即是价钱比率。以上是对于x跟y两种商品所说的，能否异样实用于多种商品呢？谜底是确信的。假如花费者在n种商品中做出抉择，那么花费者平衡的原那么可表白为:MU1‗MU2‗MU3‗…‗MUnP1P2P3Pn这一论断异样可用拉格朗日乘数法证实。拉格朗日乘数法可推行到求n元函数ƒ(x1,x2,…,xn)在m个附加前提φ(x1,x2,…,xn)下的前提极值。办法如下:m⑴做拉格朗日函数L(x1,x2,…,xn)=ƒ(x1,x2,…,xn)+∑λiφi(x1,…x2);i=1⑵求L(x1,…xn)对于x1,…xn的偏导数，令它们即是零，并与附加前提联破，即mL＇xi==ƒ＇xi+∑λiφ'i=0,i=1,2,…,ni=1φk(x1,x2,…,xn)=0,k=1,2,…,n求解此方程组，可失掉极值点。如今回到咱们的咨询题中，设功效函数U(Qx1,Qx2,…Qxn),为使它在制约前提下获得极值,起首树破拉格朗日函数:L=U(Qx1,Qx2,…Qxn)+λ(I-Px1∙Qx1-P2∙Qy2-…-Pxn∙Qxn)，λ为参数。求L(x1,x2,…xn)对x1,…,xn的一阶偏导数，令它们即是零，并与附加前提联破。即∂L/∂Qx1=∂U/∂Qx1-λPx1=0〔1〕∂L/∂Qx2=∂U/∂Qx2-λPx2=0〔2〕………∂L/∂Qxn=∂U/∂Qxn-λPxn=0〔n〕I-Px1∙Qx1-P2∙Qy2-…-Pxn∙Qxn将方程⑴到(n)相除，即得，MUx1‗MUx2‗…‗MUxnPx1Px2Pn因此，花费者要完成n种商品的功效最年夜化，边沿功效的比率应当即是价钱比率。参考文献:《经济类数学剖析》〔下册〕〔天津年夜学出书社〕《古代东方经济学教程》〔第二版，上册〕〔南开年夜学出书社〕※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○