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高等数学复习提纲(4学分)

第一篇：高等数学复习提纲(4学分)高等数学复习提纲第一章函数与极限复习重点：1、求极限1）四则运算法则注意：四则运算法则适用的函数个数是有限个；四则运算法则的条件是充分条件有理分式函数求极限公式：a0mm1xxxambaaamm101m1nnnna0xa1xam1xam0xxxxlim0limnn1bxnbxn1bxbxxbxxxn01n1nbbb01n1nnnnxxxx2）两个重要极限nmmnmnlimsinxsin01()x0x01x101lim(1x)lim(1)xe((10))x0xx3）两个准则准则一：若(1)ynxnznnN则{xn}有极限,且limxnan(2)limynlimznann准则二：单调有界数列必有极限单调递增有上界的数列其极限为最小的上界（上确界）单调递减有下界的数列其极限为最大的下界（下确界）4）无穷小量a.无穷小量的定义，注意其是变量，谈及无穷小量时一定要注明自变量的变化趋势。唯一的例外是0永远是无穷小量；b.掌握何为高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小；c.利用无穷小量求极限无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量等价无穷小量替代求极限注意：下面给出关系式是在x0时才成立等价无穷小量替代求极限只在积、商时成立，加减时不行1sinx~x1cosx~x2xarcsinx~xe1~xtanx~xax1~xlnaxnln(1x)~x1x1~n2、连续性和间断点1）连续定义x0limy0,limf(x)f(x0)xx0要求会用定义讨论分段函数分段点的连续性2）间断点第Ⅰ类间断点：f(x00)，f(x00),即左右极限均存在01f(x00)f(x00)跳跃间断点02f(x00)f(x00)而f(x0)无定义可去间断点03limf(x)f(x0)xx0第Ⅱ类间断点：f(x00)，f(x00)至少有一个不间断点的疑似点：使函数没有意义的点和分段函数分段点要求：判断函数的间断点，若是第一类的要写出是跳跃还是可去，第二类只需写出是第二类间断点即可。3、闭区间上连续函数的性质1）最值定理：闭区间上连续函数的最大值和最小值一定取得到。注意：最值定理的条件是充分条件，不满足结论不一定成立。2）零点定理：f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)第二章一元函数微分学复习重点：1、导数的定义f(x0)limf(x)f(x0)ylimx0xxx0xx0要求，会利用导数的定义判断分段函数分段点处的可导性，以及利用导数定义求极限；2、导数的几何意义表示曲线f(x)在xx0处切线的斜率要求会求切线方程法线方程；3、微分的定义dyf(x0)x（一点可微）；dyf(x)dx（点点可微）4、一元微分学中，可导、连续、可微三者之间的关系可导必可微，可微必可导；可导一定连续，连续不一定可导5、导数的计算a.复合函数求导b.高阶导数常见高阶导数公式如下：yexy(n)exyxny(n)n!,y(n1)0nysinxy(n)sin(x)2nycosxy(n)cos(x)2(1)n1(n1)!(n)yln(1x)y(1x)nc.隐函数求导隐函数求导方法两边同时对x求导；注意y是关于x的函数；隐函数求导的结果还是隐函数；隐函数高阶求导时一阶求导结果要注意回带，以简化运算。d.对数求导法适用于幂指函数、无理分式函数e.参数方程求导注意二阶导数6、求微分dyf(x)dx注意不要缺失dx第三章中值定理和导数的应用1、中值定理1）罗尔定理若f(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，f(a)=f(b)，则至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0。注意：a)罗尔定理的条件是充分的，不满足条件结论不一定成立；b)罗尔定理的结论可理解为若f(x)满足罗尔定理三个条件，则导函数在开区间(a,b)至少有一根；强调了导函数根的存在性，但没指出到底有几个根；c)从罗尔定理可推出，若f(x)有n个根+连续+可导，则导函数至少有n-1个根；注意反之不成立；d)若导函数没有根，则f(x)至多一个根。2）拉格郎日定理若f(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，则至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)应用于不等式的证明和证明某个函数是一个常函数。3）柯西定理若f(x)，F(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，且x(a,b),F(x)0则至少存在一点x0(a,b)，使得f(b)f(a)。baf(x0)f(b)f(a)。F(x0)