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高数复习笔记之极限与函数

第一篇：高数复习笔记之极限与函数1，隐含的分段函数与建立函数关系2，如何判断微积分的有界性3，极限定义做了解，性质：唯一性、保号性、四则运算，若一个极限存在另一个不存在则相加减的极限必不存在、乘除的极限可能存在也可能不存在；若两个极限都不存在那么加减乘除的极限可能存在也可能不存在。举反例：（参考书籍：数学分析中的反例）；相除时，分母为0分子不为0则极限为无穷大，若分子分母全为0，极限怎么算？4，极限的复合运算：若此函数连续则函数符号跟极限符号可以调换位置。极限存在准则：单调有界数列必有极限；夹逼定理两类重要极限：书上找5：无穷大量与无穷小量（即把任何函数的极限为A的问题转化为极限为零的问题）无穷小量的比较（视频0012第16分钟）：高阶l=0（两个趋近于0的速度前者比后者快）、同阶l不=0（两者趋近于0的速度一样快）、等价l=1（五个等价无穷小的特例：把指数、三角、对数函数转化为求解简单的幂函数）无穷大量：即极限不存在的情况无界变量：在一个绝对值范围内要多大有多大的值注意:无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量（视频25分讲述）6,四类未定式（洛必塔法则解决）第二篇：高数复习方案(函数和极限)计算机科学与技术09级学生工作委员会—学习部函数与极限1.集合：具有某种特性定性质的事物的总体成为集合组成集合的事物叫做元素设元素为a集合为M那么aM交集，子集，属于，不属于包含于，并集，空集2.设X，y是两个变量，D是数集，按照一定的对应关系，总有唯一的y和x相对应，则说y是x的函数，记做y=f（x），y是因变量，x是自变量。（简单一点说：x在一个对应法则的机器搅和搅和就出来一个y）F（D）为值域xD是定义域函数的三要素：定义域值域对应法则注意：强烈建议只要写函数就写定义域eg：求下列函数的自然定义域(1)yarcsin(2)ytan(3)y（x3）（x+1）3.函数的特性（1）单调性：增函数和减函数如果对于arctan1xI上任意两点x1及x2，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2）成立，则称在I上f（x）是增函数，反之则是减函数注意：增减性在解间断点时候有重要性（下文解释）eg：设f（x）为定义在（-a，a）内的奇函数，若f（x）在（o，a）上单点增加，证明f（x）在（-a，0）上也单点增加（2）有界性：xD,M0,f(x)M,则称f（x）为有界函数f(x)M,xD,M0,则函数在D上面有界注意：上界大于等上界下界小于等于最小值千万不要搞错了（3）奇偶性：奇函数特性注意：奇偶性的定义与一定是对称的不对称就没有这个性质而言（4）周期性：正弦余弦就是明显的特点f（x+T）=f（x）注意：如果一个函数关于两个直线对称，那么两个直线之间的距离是函数周期大小的一半。4.反函数和复合函数：反函数的定义域和值域和原函数相反但是奇和偶函数的反函数奇偶性质不变。复合函数的定于与要明确，增减为减增增减减为增5.数列的极限：如果给定的数列{}，当变量n趋近于无穷大时，数列趋近于一个常数a，则称a是数列的极限当然如果a不存在，说明这个函数是发散的注意：课本P34例题5有证明函数极限，这个很重要Eg：证明：当x00时，limxx06.极限的性质：（1）唯一性，如果这个a存在，那么一定是唯一的假设不存在，那么不就和定义说函数是发散的吗（2）有界性：若limf（x）a存在，则函数f（x）有界x（3）保号性：若limxna（a0或a0），则N，当nN时，xn（00），n反之，若xn（00），则limxn（00）n7.n数列的存在准则：（1）夹逼准则（2）单调有界函数必有界eg：证明limn（8.（1）（2）111.......)=1n2n22n2n我主要讲讲极限的一些重要求的方法：1xsinx）eli（有兴趣可以证明）1xx0xx7个重要的等价无穷小且都x0（1两个重要极限lim（1x1（1）1n1x（2）tanxx（3）arctanxxn1-cosx（4）arcsinxx（5）（3）（4）12（1x）xx（6）ex1x（7）ln2两个准则：夹逼还有单调有界（5）（6）（7）（8）（9）有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小量的代数和仍是无穷小有界函数与无穷小的乘积也是无穷小常数与无穷小的乘积仍是无穷小利用极限的四则运算和指数预算利用泰勒公式洛比达法则利用导数极限求极限函数的性质求因为数列是特殊的函数注意：这里就有一些小方法了，有换元等价代换拆项求和三角的和差化积数列求和的公式…（10）间断点和连续性间断点：除去不成立的点，一般都是间断点连续性：区间上每一点都连续的函数，就