浅谈导数的几点应用.docx

浅谈导数的几点应用

第一篇：浅谈导数的几点应用浅谈导数的几点应用导数是解决数学问题的重要工具，很多数学问题如果利用导数探求思路，不仅能迅速找到解题的切入点，而且能够把复杂的分析推理转化为简单的代数运算，达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果。如在求曲线的切线方程、方程的根、处理函数的单调性、最值问题；数列，不等式等相关问题方面，导数都能发挥重要的作用。一、利用导数求曲线的切线方程例1.已知函数f（x）=x3-3x过点A（0，16）作切线，求此切线的方程。解：∵点A（0，16）不在曲线f（x）=x3-3x上∴可设切点为B（x0，y0），则y0=x03-3x，∵f'（x0）=3（x02-1）∴曲线f（x）=x3-3x在点B（x0，y0）处的切线方程为l：y-（x03-3x0）=3（x02-1）（x-x0），又点A（0，16）在l上∴16-（x03-3x0）=3（x02-1）（0-x0）∴x03=-8，x0-2，切点B（-2，-2）所求切线方程为9x-y+16=0。二、讨论方程的根的情况例２.若a>3，试判断方程x3-ax3+1=0在［0，2］上根的个数。解：设f（x）=x3-ax2+1，则f'（x）=3x2-2ax。当a>3，x∈［0，2］时f'（x）0，f（2）=9-4a故f（x）在x∈［0，2］上有且只有一个根。三、求参数的范围例3.设函数f（x）=x3-6x+5，若x的方程f（x）=a恰好有3个相异实根，求实数a的取值范围。解:由题意有f'（x）=3x2-6则x∈（-∞，-）∪（）时，f（x）单调递增；x∈（-，+）时，f（x）单调递减。所以f（x）的极大值为f（-）=5+4，极小值为f=5-4。故f（x）恰有3个相异实根时，a∈（5-4，5+4）。四、利用导数求解函数的单调性问题例4.函数f（x）=x3-x2+（m+1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数m的取值范围。解：函数f（x）的导数f'（x）=x2-mx+m-1，令f'（x）=0，解得x=1或x=m-1（1）当m-1≤1即m≤2时，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，不合题意。（2）当m-1>1即m>2时，函数f'（x）在（-∞，1）上为增函数，在（1，m-1）内为减函数，在（m-1，+∞）上为增函数。根据题意有：当x∈（1，4）时f'（x）0，所以4≤m-1≤6解得5≤m≤7，所以m的取值范围是［5，7］。五、利用导数求解函数的极值例5.已知函数（fx）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值，讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值。解：f'（x）=3ax2+2bx-3由题意可知∵在x=±1时f'（x）=0，即3a+2b-3=03a-2b-3=0，解得a=1b=0。∴f（x）=x3-3x，f'（x）=3（x+1）（x-1）。当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），时f'（x）>0当x∈（-1，1）时，f'（x）所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是增函数，在（-1,1）为减函数。所以，f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值。六、利用导数研究函数的图象例6.若函数y=f（x）在［a，b］上是先增后减的函数，则y=f（x）在［a，b］图象可能是：（C）解析：依题意f'（x）在［a，b］上是先增后减的函数，则f（x）的图象上，各点的切线的斜率先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，观察四哥选项中的图象，只有C满足要求，故选C。七、利用导数证明不等式例7.对于x>0，有不等式x>ln（x+1）成立。设f（x）=x-ln（x+1），（x>0），则有f'（x）=证明：∵x>0，∴f'（x）>0，又f（x）在x=0处连续，f（x）在［0，+∞］上单调递增，∴x>0时，f（x）>f（0）=0，即x-ln（1+x）>0，x>ln（1+x）。八、利用导数求数列的前n项和例8.求数列nxn-1（x≠0,1）的前n项和。解：设数列nxn-1（x≠0,1）的前n项和为Sn，则Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=（x+x2+x3…+xn）'=（）'==（x≠0，1）。即为数列nxn-1（x≠0，1）的前n项和。九、利用导数解决实际应用问题例9.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：（1）（fx）=p•qx；（fx）=px2+qx+1；（3）f（x）=x（x-q）2（以上三式中p，q均为常数，且q＞1）。（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所选函数f（x）的解析式。（注：函数的定义域是［0，5］，其中x=0表示8月1日，x=1表示9