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正弦定理的三种证明

第一篇：正弦定理的三种证明△ABC中的三个内角∠A，∠B，∠C的对边，分别用a,b,c表示.正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinCA证明：按照三角形的种类，分三种情形证明之.(1)在RtABC中，如图1-1sinA=acbc，sinB=a=b=casinA=bsinBCDb=asinA=csinC因此，bcsinAsinB有因为sinC=1，所以CCDaaCB（2）在锐角△ABC中，如图1-2作CDAB于点D，有sinA=因此，bsinA=asinB，即同理可证：asinA=csinCasinA，sinB=b，sinB=b=csinCb.Ac，故sinB（3）在钝角△ABC中，如图1-3作CDAB，交AB的延长线于点D，则sinA=CDbCDabsinBBD，sinABC=sinCBD=asinA=因此，bsinA=asinB，即同理可证：b=cbasinBsinCabc==故sinAsinBsinCA综上所述，在任意的三角形中，正弦定理总是成立.BD证明：如图所示，圆O是△ABC的外接圆，半径为R连接AO并延长，交圆O于点D，连接CD，易知，ACD=90，B=DsinD=ACAD=b2R，即sinB=b2R因此bsinB=2RB同理，延长BO,CO，可证故asinAasinA==csinCbsinB==2RcsinC=2R证明：过点B作单位向量jBC，那么就有jACjABjBCbcos(90C)ccos(90B)0bsinCAbsinBacsinCb，b同理有故asinA=sinB=。csinAsinBsinCBC【小技巧】根据几何图形确定向量夹角的方法：如果两个向量所在之间直线相交，或通过平移一个向量而相交，那么（1）向量夹角为锐角，很容易判断；（2）向量夹角为钝角时，可以先判断锐角，再取补角例如：确定向量j与向量AB的夹角时，由于是钝角，先确定向量j与向量BA的夹角为90B，再求补角，即为90BACj确定向量与向量的夹角时，先平移j，同上可得，夹角为90C第二篇：正弦定理证明新课标必修数学5“解三角形”内容分析及教学建议江苏省锡山高级中学杨志文新课程必修数学5的内容主要包括解三角形、数列、不等式。这些内容都是高中数学中的传统内容。其中“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。在历次教材改革中都作为中学数学中的重点内容，一直被保留下来。在这次新课程改革中，新普通高中《数学课程标准》（以下简称《标准》）与原全日制普通高级中学《数学教学大纲》（以下简称《大纲》）相比，“解三角形”这块内容在安排顺序上进行了新的整合。本文就《标准》必修模块数学5第一部分“解三角形”的课程内容、教学目标要求、课程关注点、内容处理上等方面的变化进行简要的分析，并对教学中应注意的几个问题谈谈自己的一些设想和教学建议，供大家参考。一、《标准》必修模块数学5中“解三角形”与原课程中“解斜三角形”的比较1．课程内容安排上的变化“解三角形”在原课程中为“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作为平面向量的一个单元。而在新课程《标准》中重新进行了整合，将其安排在必修模块数学5中，独立成为一章，与必修模块数学4中的“平面向量”分别安排在不同的模块中。2．教学要求的变化原大纲对“解斜三角形”的教学要求是：（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解斜三角形的计算问题。（2）通过解三角形的应用的教学，提高运用所学知识解决实际问题的能力。（3）实习作业以测量为内容，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。《标准》对“解三角形”的教学要求是：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。由此可以看出，《标准》在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。3、课程关注点的变化原《大纲》中，解斜三角形内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上。而《标准》则关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。侧重点放在学生探究和推理能力的培养上。4、内容处理上的变化原《大纲》中，解斜三角形作为平面向量知识的应用，突出其工具性和应用性。而《标准》将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何的作用，为学生理解数学中的