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构造函数证明不等式的八种方法[最终版]

第一篇：构造函数证明不等式的八种方法[最终版]构造函数证明不等式的八种方法一、移项法构造函数例：1、已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，但有12、已知函数f(x)aex1ln(x1)x1x12x（1）若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围。2（2）若a=1，求证：x0时，f(x)1x二、作差法构造函数证明1例：1、已知函数f(x)x2lnx，求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数22g(x)x3的图象下方。3思想：抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题2、已知函数f(x)nlnx的图象在点P(m,f(x))处的切线方程为y=x，设n（1）求证：当x1时，g(x)0恒成立；（2）试讨论关于x的方g(x)mx2lnx，xn程mxg(x)x32ex2tx根的个数。x3、换元法构造函数证明例：1、证明：对任意的正整数n，不等式ln(1)2、证明：对任意的正整n，不等式ln(1)3、已知函数f(x)ln(ax1)xxax，（1）若321n11，都成立。n2n31n113都成立。2nn2为yf(x)的极值点，求实数a3的值；（2）若yf(x)在[1,)上增函数，求实数a的取值范围。（3）若a=-1时，方程f(1x)(1x)3b有实根，求实数b的取值范围。x4、从条件特征入手构造函数证明例1若函数yf(x)在R上可导且满足不等式xf(x)f(x)恒成立，且常数a,b满足'ab，求证：af(a)bf(b)5、主元法构造函数例1.已知函数f(x)ln(1x)x，g(x)xlnx，（1）求函数f(x)的最大值；（2）设0ab，证明：0g(a)g(b)2g（ab)(ba)ln226、构造二阶导数函数证明导数的单调性例1：已知函数f(x)aex12（1）若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围；x，2（2）若a=1，求证：x0时，f(x)1x7、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）例1：证明当x0时，(1x)11xe1x8、构造形似函数例1：证明当bae，证明ab2、已知m、n都是正整数，且1mn，证明：(1m)(1n)思维挑战1、设a0，f(x)x1lnx2alnx，求证：当x1时，恒有xlnx2alnx12、已知定义在正实数数集上的函数f(x)且b3、已知函数f(x)ln(1x)4、f(x)是定义在(0,)上的非负可导数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a、b，若ab，则必有（）A.af(x)bf(a)B.bf(a)af(b)C.af(a)f(b)D.bf(b)f(a)-'2nmba212x2ax，g(x)3a2lnxb，其中a0，252a3a2lna，求证：f(x)g(x)2xb，求证：对任意的正数a、b恒有lnalnb11xa第二篇：构造函数法证明不等式的八种方法导数之构造函数法证明不等式1、移项法构造函数【例1】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有1【解】f(x)1ln(x1)xx11x1x1x1∴当1x0时，f(x)0，即f(x)在x(1,0)上为增函数当x0时，f(x)0，即f(x)在x(0,)上为减函数故函数f(x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间(0,)于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x)maxf(0)0，因此，当x1时，f(x)f(0)0，即ln(x1)x0∴ln(x1)x（右面得证）现证左面，令g(x)ln(x1)111x1，则g(x)22x1x1(x1)(x1)当x(1,0)时,g(x)0;当x(0,)时,g(x)0，即g(x)在x(1,0)上为减函数，在x(0,)上为增函数，故函数g(x)在(1,)上的最小值为g(x)ming(0)0，110x1111ln(x1)x∴ln(x1)1，综上可知，当x1时,有x1x1∴当x1时，g(x)g(0)0，即ln(x1)2、作差法构造函数证明【例2】已知函数f(x)12xlnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数2g(x)23x的图象的下方；32312xxlnx，32【解】设F(x)g(x)f(x)，即F(x)1(x1)(2x2x1)则F(x)2xx=xx21(x1)(2x2x1)当x1时，F(x