极限的概念 教案.docx

极限的概念教案

第一篇：极限的概念教案【教学课题】：§1.2数列的极限（第一课时）【教学目的】：使学生逐步建立起数列极限的N定义的清晰概念。会应用数列极限的N定义证明数列收敛及有关命题，并能运用N语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。【教学重点】：数列极限的概念。【教学难点】：数列极限的N定义及其应用。【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。一引言通过介绍我国数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，来介绍极限思想的最初萌芽。二、数列极限的定义．定义（数列）：若函数f的定义域为全体正整数集合N，则称f:NR或f(n),nN为数列。因为正整数集可以由小到大排列，故数列f(n)也可以写作a1,a2,,an,简记为{an}，其中an称为该数列的通项。2收敛数列描述性定义：一般地说，对于数列an，若当n无限增大时，an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。数列极限的数学定义以111a1n为例，可观察出该数列具以下特性：①随着的无限增大，无限nnnn地接近1。②随着n的无限增大，1|11n1|无限减少，也就是说|1n1|1101n与1的距离无限减少。③随着n的无限增大，1|会任意小，只要n充分大。如：要使|1，只要n10即可；要使|11n1|1100，只要n100即可；任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项aN，从该项之后(nN)，|111|。n11|。n即0,N，当nN时，|1综上所述，数列1111的通项随的无限增大，无限接近于1，即是对任11nnnn意给定正数，总存在正整数N，当nN时，有|111。此即1|1以1为极nn限的精确定义，记作lim1n11或n,11。1nn定义设an为数列，a为实数,，若对0，总NN，使得当nN时有|ana|则称数列an收敛于a,a称为数列an的极限。并记作limana或ana(n)。n由于n限于取正整数，所以在数列极限的记号中把n写成n。若数列an没有极限，则称an不收敛，或称an为发散数列。注意：关于：①的任意性。刻化an与常数a的接近程度，越小，表示an与a越近；②的固定性。尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它2来求出Ｎ；③的多值性。既是任意小的正数，那么,3,等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式|ana|中的可用“|ana|”可用“|ana|”代替；,3,等来代替。从而关于N：相应性。一般地，N随的改变而改变，因此常把N看作N()来强调N是依赖于的，一经给定，就可以找到相应的一个N。当然N并不是唯一的，N之后的任意的项数都可以作为N。举例说明如何用N定义来验证数列极限例１证明limn(1)nnn1。n证0，考察n(1)n11n，可得n。n(1)1于是可取N，则当nN时，便有：1。1nn所以limn(1)nnn1。例2证明lim3nnn33。9n3证考察3nn3939n(n3)，因此对0，只要n，n3，上式就小于，故取Nmax{3,，则当nN时，总99n，即lim3n有3nn33n3nnn33。例3证明limq0(|q|1)n证若q0，则结果显然成立。1q现设0q1,记h10,由qn0qn1(1h)n11nh1nh，得n,因此取N，所以0,当nN时，便有qn0。hh即limq0(|q|1)。nn1例4证明limna1(a0)。证①a=1时,，显然成立。n②a1时，令an1(0)，则a(1)1n1na1n所以为了要使an1，只需a1na1，可取N。③0a1时，令a(b1)，则由an1()n1bb1bnbn1,可得bnnlog1b，可取Nlog1b。总之，当a0时，总有limn1。5．数列极限证明的步骤(１)考察化简ana；(２)放大ana，通常适当放大或条件放大ana1(n)2(n)