数学利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧（五篇模版）.docx

数学利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧（五篇模版）

第一篇：数学利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧趣题引入已知函数g(x)xlnx设0ab，证明：0g(a)g(b)2(ab2)(ba)ln2ax2分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。证明：g(x)lnx1，设F(x)g(a)g(x)2g(F(x)g(x)2g('')ax2ax2)12g(x)g(''ax)lnxln当0xa时F(x)0，当xa时F(x)0，即F(x)在x(0,a)上为减函数，在x(a,)上为增函数∴F(x)minF(a)0，又ba∴F(b)F(a)0，即g(a)g(b)2g(ab2)02)(xa)ln2设G(x)g(a)g(x)2g（G(x)lnxlnax2axln2lnxln(ax)当x0时，G'(x)0，因此G(x)在区间(0,)上为减函数；因为G(a)0，又ba∴G(b)G(a)0，即g(a)g(x)2g（故g(a)g(x)2g(ax22)(xa)ln20ax)(xa)ln2ab2)(ba)ln2综上可知，当0ab时，0g(a)g(b)2（本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。技巧精髓一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导用心爱心专心115号编辑1函数是用导数证明不等式的关键。1、利用题目所给函数证明【例1】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有11x1ln(x1)x分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数g(x)ln(x1)1x11，从其导数入手即可证明。xx1【绿色通道】f(x)1x11∴当1x0时，f(x)0，即f(x)在x(1,0)上为增函数当x0时，f(x)0，即f(x)在x(0,)上为减函数故函数f(x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间(0,)于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x)maxf(0)0，因此，当x1时，f(x)f(0)0，即ln(x1)x0∴ln(x1)x（右面得证），现证左面，令g(x)ln(x1)1x11，则g(x)1x11(x1)x(x1)当x(1,0)时,g(x)0;当x(0,)时,g(x)0，即g(x)在x(1,0)上为减函数，在x(0,)上为增函数，故函数g(x)在(1,)上的最小值为g(x)ming(0)0，∴当x1时，g(x)g(0)0，即ln(x1)∴ln(x1)1【警示启迪】如果1x11101ln(x1)xx1x1（小）值，则有f(x)f(a)（或f(a)是函数f(x)在区间上的最大，综上可知，当x1时,有，那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0f(x)f(a)）2、直接作差构造函数证明【例2】已知函数f(x)g(x)2323就可得证．xlnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数x的图象的下方；分析：函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方不等式f(x)g(x)问题，即xlnxx，只需证明在区间(1,)上，恒有x2lnx123x成立，设F(x)g(x)f(x)，x(1,)，考虑到F(1)0要证不等式转化变为：当x1时，F(x)F(1)，这只要证明：g(x)在区间(1,)是增函数即可。【绿色通道】设F(x)g(x)f(x)，即F(x)1x23xxlnx，x1则F(x)2xx=(x1)(2xx1)x当时16，F(x)=(x1)(2xx1)x从而F(x)在(1,)上为增函数，∴F(x)F(1)0∴当x1时g(x)f(x)0，即f(x)g(x)，故在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x的图象的下方。【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式