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数学分析隐函数定理及其应用（共5篇）

第一篇：数学分析隐函数定理及其应用《数学分析》教案第十八章隐函数定理及其应用教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。教学重点难点：本章的重点是隐函数定理；教学时数：14学时§1隐函数一．隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.1.隐函数及其几何意义:以为例作介绍.2.隐函数的两个问题:ⅰ>隐函数的存在性;ⅱ>隐函数的解析性质.二.隐函数存在条件的直观意义:三.隐函数定理:Th1(隐函数存在唯一性定理)若满足下列条件:ⅰ>函数ⅱ>在以为内点的某一区域D上连续;;(通常称这一条件为初始条件)《数学分析》教案例3(反函数存在性及其导数)设函数有连续的导函数,且，在点的某邻域内.用隐函数定理验证存在反函数,并求反函数的导数.P151例4五.元隐函数:P149Th3例4是.验证在点存在的隐函数,并求偏导数.P150例3§3几何应用一.平面曲线的切线与法线:设平面曲线方程为.有.切线方程为,法线方程为.例1求Descartes叶形线在点处的切线和法线.P159例1.二.空间曲线的切线与法平面:1.曲线由参数式给出:.切线的方向数与方向余弦.《数学分析》教案§4条件极值一.条件极值问题:先提出下例:例要设计一个容积为的长方体形开口水箱.确定长、宽和高,使水箱的表面积最小.分别以、宽和高,该例可表述和表示水箱的长、为:在约束条件之下求函数的最小值.条件极值问题的一般陈述.二.条件极值点的必要条件:设在约束条件的点是函数之下求函数的极值.当满足约束条件的条件极值点,且在该点函数决定隐函数,于是点.满足隐函数存在条件时,由方程数就是一元函的极限点,有代入,就有,(以下即、、、均表示相应偏导数在点，),的值.)—,,,亦即().可见向量()也与向量)与向量，)正交.注意到向量,，)与向量).,,)线)正交,即得向量(，)+性相关,即存在实数,使（《数学分析》教案下的极小值.并证明不等式数.168例3,其中为任意正常第二篇：数学分析公式定理2第十二章富里埃级数§1富里埃级数一富里埃（Fourier）级数的引进定义：设是上以为周期的函数，且在上绝对可积，称形如的函数项级数为的Fourier级数(的Fourier展开式)，其中，称为的Fourier系数，记为说明1）在未讨论收敛性，证明一致收敛到之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示是的Fourier级数，或者说的Fourier级数是。2)要求上的Fourier级数，只须求出Fourier系数。二富里埃级数收敛性的判别1.Riemann（黎曼）引理设在（有界或无界）区间上绝对可积，则，.推论在上绝对可积函数的Fourier系数；2.Fourier级数收敛的充要条件定理1和,使得当时成立其中.3.Fourier级数收敛的Dini判别法推论:设在上除去有限点外存在有界导数,则的Fourier级数点点收敛,且特别地,是的连续点时，即例:设是以为周期的函数，其在上可表示为,判定的Fourier级数的收敛性.例：设是以为周期的函数,其在上等于,判定的Fourier级数的收敛性例：4.Jordan判别法设在上单调(或有界变差)，则。例：设是以为周期的函数，其在上可表示为,求的Fourier展开式。计算的Fourier系数的积分也可以沿别的长度为的区间来积.如，例：设是以为周期的函数,其在上等于,求的Fourier级数.如果仅定义在长为的区间上,例如定义在上,此时不是周期函数,从而不能按上述方法展开为Fourier级数.但可对在外补充定义,使其以为周期,如定义,它有下述性质:a)时,；b)以为周期.例:三正弦级数和余弦级数定义形如的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如的三角级数（函数项级数）称为余弦级数.2如果是以为周期的函数,在上绝对可积,若是奇函数,则有；若是偶函数,则有.3设仅在上有定义,如果按奇函数的要求,补充定义,然后再作周期延拓,必得奇函数,所得Fourier级数必为正弦级数.对应地,补充定义后,再作周期延拓,必得偶函数,所得Fourier级数必为余弦级数。例:),将展开成余弦函数。例：将在上展开为余弦级数。四一般周期函数的Fourier级数设是周期为的函数,且在上绝对可积,则有,其中，例:求的Fourier展开式.五Fourier级数的复数表示形式设,则其复数表示形式为,其中,复的Fourier系数.§2富里埃变换一富里埃变换的概念设在内绝对可积。定义1称是的富里埃变换，并把它记为或。即。富里埃变换的性质（i）是内的连续函数；（i