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利用函数凹凸性质证明不等式

第一篇：利用函数凹凸性质证明不等式利用函数的凹凸性质证明不等式内蒙古包头市第一中学张巧霞摘要：本文主要利用函数的凹凸性来推导和证明几个不等式.首先介绍了凹凸函数的定义，描述了判定一个函数具有凹凸性质的充要条件，并且给出了凸函数的一个重要性质——琴生不等式.通过巧妙构造常见的基本初等函数，利用这些函数的凹凸性推导几个重要不等式，如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德尔不等式，然后再借助这些函数的凹凸性及其推导出来的重要不等式证明一些初等不等式和函数不等式.关键词：凸函数；凹函数；不等式.一．引言在数学分析和高等数学中，利用导数来讨论函数的性态时，经常会遇到一类特殊的函数——凹凸函数.凹凸函数具有一些特殊的性质，对于某些不等式的证明问题如果灵活地运用函数的凹凸性质就可以简洁巧妙地得到证明.二．凹凸函数的定义及判定定理(1)定义设f(x)是定义在区间I上的函数，若对于I上的任意两点x1,x2及实数0,1总有f(x11x2)fx11fx2则称f(x)为I上的凸函数（下凸函数）；反之，如果总有不等式f(x11x2)fx11fx2则称f(x)为I上的凹函数（上凸函数）.特别地，取xx2fx1fx21).，则有f(1222若上述中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数.（2）判定定理若函数f(x)在区间I上是二阶可微的，则函数f(x)是凸函数的充要条件是f“(x)0，函数f(x)是凹函数的冲要条件是f”(x)0.三．关于凸函数的一个重要不等式——琴生不等式设f(x)是定义在区间I上的一个凸函数，则对xiI,i1,2,,n,i0,i1ni1有f(ixi)ifxi.i1i1nn特别地，当ii1,2,,n,有nf（x1x2xnfx1fx2fxn).22琴生不等式是凸函数的一个重要性质，因为每个凸函数都有一个琴生不等式，因此它在一些不等式的证明中有着广泛的应用.四．应用凸函数和琴生不等式证明几个重要不等式.（1）（调和——几何——算术平均不等式）设ai0,i1,2,,n,则有nnain1i1i1ain当且仅当a1a2an时，等号成立.证明设f(x)lnx,因为f“(x)ai1nin0,x0,,2x所以f(x)是0,上的凸函数，那么就有f（x)fx.iiiii1i1nn现取xiai,i,i1,2,,n,nn1n1n1则有lnailnailnain,i1ni1ni1n1n1得lnailnain,ni1i1由lnx的递增性可得n1（1）aiii1ni1同理，我们取xinn0，就有ain11lnnaii1n11lnaii1nnnn1ln1i1ani,即ai（2）n1i1i1ainn由（1），（2）两式可得nain1i1i1ain（2）柯西——赫勒德尔不等式p1nai1inpqababiiiii1i1i1其中ai,bi,i1,2,,n是正数，又p0,p1,p与q共轭，即nnnq1.pq证明首先构造函数fxxp,p1时，f”x0,x0所以fxx是0,上的凸函数，则有pnnpf(ixi)ixiixii1i1i1np令ipipi1n,这里pi0,i1,2,,n，inpixi则i1npii1pppxii1npipi1ninnnp即pixipixipii1i1i1p1由题设知11p1，得q，p1pq所以1p1qppxpxpiiiii，i1i1i1nnpn1q现取aipixi,bipi，i1,2,,n则aibipixipi1p1qpixi,pixiai，代入上式得pppqababiiiii1i1i1命题得证.在柯西赫勒德尔不等式中，若令pq2时，即得到著名的不等式——柯西不等式nnpn1q22ababiiiii