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关于某些大范围收敛的迭代方法的评述
引言
在数值计算中，迭代方法是一种非常重要的数值方法，其广泛应用于求解线性方程组、非线性方程组、最优化问题、微分方程等各个领域。在迭代算法中，往往会出现收敛现象或是发散现象，而本文将围绕某些大范围收敛的迭代方法进行评述。这些方法包括Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、SOR迭代法和CG迭代法，我们将分别对每个算法的原理、收敛条件和收敛速度进行分析，并在结论部分讨论其优缺点。
一、Jacobi迭代法
Jacobi迭代法是解线性方程组的一种迭代方法，其思想是通过对线性方程组的每个未知量进行逐次求解，从而达到求解整个线性方程组的目的。具体而言，假设线性方程组为Ax=b，其中A为系数矩阵，x和b为未知量向量和常数向量，Jacobi迭代法的迭代公式为：
x（k+1）=D^-1(b-（L+U）x(k))
其中，D、L和U是A的对角线、下三角和上三角分块矩阵。
为了保证Jacobi迭代法能够收敛，需要满足A为对角占优矩阵或严格对角占优矩阵。简单来说，即对于A中的每个未知量，其对应的系数在该行中的绝对值之和必须大于该行中其余系数绝对值之和。
收敛速度方面，Jacobi迭代法的每一次迭代都需要刻画出A的对角线部分，因此其收敛速度较慢。此外，如果矩阵A中存在多个大的特征值，那么Jacobi迭代法将会非常缓慢甚至不收敛。
二、Gauss-Seidel迭代法
与Jacobi迭代法不同，Gauss-Seidel迭代法可以利用前面已经求得的未知量，优化后续未知量的求解过程。具体而言，假设线性方程组为Ax=b，x和b为未知量向量和常数向量，Gauss-Seidel迭代法的迭代公式为：
xi(k+1）=（bi-∑(i+1,j=naijxi(k+1)-∑(j=1,i-1aijxj(k))）/aii
其中，∑(i+1,j=naijxi(k+1)对应的是A的第i行后面的未知量，∑(j=1,i-1aijxj(k)对应的是A的第i行前面的已知量。
与Jacobi迭代法类似，Gauss-Seidel迭代法的收敛条件也是对角占优矩阵或严格对角占优矩阵。但与Jacobi迭代法不同的是，Gauss-Seidel迭代法每次迭代的收敛速度较快，因为其可以采用前面已经求解出的未知量进行优化。
三、SOR迭代法
SOR（SuccessiveOver-Relaxation）迭代法是Gauss-Seidel迭代法的一个变种，旨在加速Gauss-Seidel迭代法的收敛速度。其迭代公式为：
xi(k+1）=（1-ω）xi(k)+(ω/aii)(bi-∑(i+1,j=naijxi(k+1)-∑(j=1,i-1aijxi(k)))
其中，ω为松弛因子，当ω=1时，SOR迭代法即为Gauss-Seidel迭代法。而当0<ω<1时，称为“减松弛”（under-relaxation），可以加快收敛速度；而当1<ω<2时，称为“超松弛”（over-relaxation），可以加速收敛速度并提高精度。
SOR迭代法的收敛条件与Gauss-Seidel迭代法相同，均为对角占优矩阵或严格对角占优矩阵。但同时，SOR迭代法的收敛速度比Gauss-Seidel迭代法更快。
四、CG迭代法
CG（ConjugateGradient）迭代法是解线性方程组的一种迭代法，其特点是每次迭代的收敛速度都比较快，并且只需要迭代n次即可求解n阶线性方程组。而且，CG迭代法可以处理大规模稀疏矩阵，并且在计算中只需要矢量乘法。
具体而言，CG迭代法利用了线性代数中的共轭梯度理论，其迭代公式为：
x(k+1）=x(k)+α(k)d(k)
其中，α(k)为步长，而d(k)为共轭方向。对于方程Ax=b，初始解向量为x(0)，共轭方向d(0)=r(0)=b-Ax(0)，其中r(0)表示残差，即r(0)=b-Ax(0)，而d(k)和α(k)分别为：
d(k)=r(k)+(β(k)/β(k-1))d(k-1)
α(k)=(r(k),r(k))/(d(k),Ad(k))
β(k)=(r(k),r(k))/(r(k-1),r(k-1))
其中(,)表示向量的内积，A表示系数矩阵。
CG迭代法的收敛速度非常快，可以在很少次数内达到一定的精度。但同时，CG迭代法仅能用于解对称正定线性方程组。
结论
在本文中，我们分别对Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、SOR迭代法和CG迭代法进行了分析和评述。归纳而言，这些算法都可以收敛于对角占优矩阵或严格对角占优矩阵，但在收敛速度和收敛精度上有所差别。其中，Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法可以通过利用前面已经求解的未知量来优化后续未知量，从而加速收敛速度。而CG迭代法则可以在非常少的次数内达到一定的精度，但仅适用于解对称正定线性方程组