2022新教材高中数学 第四章 对数运算与对数函数 4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 5 信息技术支持的函数研究素养作业 北师大版必修第一册.docx

第四章§4§5

A组·素养自测
一、选择题
1．有一组实验数据如下表所示：
x12345y1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是(C)
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
[解析]通过所给数据可知y随x增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C．
2．一辆汽车在某路段中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(A)

A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
[解析]由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．
3．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是(C)
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100x
[解析]对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大；
对于B中的函数，当x＝3或4时，误差也较大；
对于C中的函数，当x＝1，2，3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差较小；
对于D中的函数，当x＝2，3，4时，据函数关系式得到的结果与实际值相差都很远，综上，只有C中的函数误差最小，故选C．
4．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中最有可能正确的是(C)

[解析]即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A，D；即时价格若一直上升，则平均价格也应一直上升，排除B(也可以由x从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点，排除A，D)．故选C．
二、填空题
5．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是__y＝x2__．
[解析]当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2比xlnx增长得要快．
6．设常数a>1，实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，y的最大值为eq\r(2)，则a的值为__4__，x的值为__eq\f(1,8)__．
[解析]由logax＋2logxa＋logxy＝－3，得logax＋eq\f(2,logax)＋eq\f(logay,logax)＝－3(x>0，y>0，x≠1)，
整理可得logay＝－(logax)2－3logax－2.
设logax＝t(t≠0)，则有logay＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4).
因为a>1，所以当t＝－eq\f(3,2)时，y取得最大值eq\r(2)，
即logaeq\r(2)＝eq\f(1,4)，解得a＝4，从而log4x＝－eq\f(3,2)，即x＝4－eq\f(3,2)＝eq\f(1,8).
三、解答题
7．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)?
[解析]设新树苗的木材量为Q，则10年后有两种结果：
连续生长10年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
生长5年后重新栽树木，木材量M＝2Q(1＋18%)5.
则eq\f(M,N)＝eq\f(2,（1＋10%）5).
∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴eq\f(M,N)>1，即M>N.
因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量．
B组·素养提升
一、选择题
1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(C)
A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)x2＋2x
C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16x
[解析]将x＝1，2，3依次代入各函数表达式中得
x123y＝0.2x0.20.40.6y＝eq\f(2x,10)0.20.40.8y＝eq\f(1,10)x2＋2x2.14.46.9y＝0.2＋log16x0.20.450.2＋log163与已知值