正切函数的性质与图象-【名师经典教学资料】.doc

《数学4》1.4.3正切函数的性质与图象(1)
教学目标：
1.知识与技能：
(1)会用单位圆内的正切线研究正切函数的性质，并掌握正切函数的性质；
(2)会根据正切函数的性质画正切函数的图象；
(3)会用正切函数的性质与图象解决相关问题。
2.过程与方法：
通过用单位圆内的正切线研究正切函数的性质，利用正切函数的性质画正切函数的图象，给学生提供了更多研究数学问题的视角；培养学生类比、归纳、数形结合等数学思想方法和灵活运用的能力。
3.情感态度与价值观：
使学生体会数学的理性与严谨，引导学生形成自主学习与合作学习等良好的学习方式，培养学生的发现意识和理论联系实际能力，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
教学重点：正切函数的性质与图象；
教学难点：(1)用单位圆中的正切线研究正切函数的性质；
(2)用单位圆中的正切线作正切函数的图象。
教学过程：
一、复习引入：
问题：我们已经学习了正弦函数的图象与性质，
⑴正弦函数有哪些性质？
⑵你能根据正弦函数的性质画出正弦函数的图象吗?
想一想：能否根据正切函数的性质画出正切函数的图象呢?
问题：⑴正切函数的性质有哪些？(未知)
⑵我们应从哪几个方面来研究函数的性质呢?
二、讲解新课：
㈠正弦函数的性质
1．正切函数的定义域是什么？
由三角函数的定义知角的终边不能落在y轴上，所以
2．正切函数是不是周期函数？
，
∴正切函数是周期函数,周期是。
3．正切函数是奇函数还是偶函数？

∴正切函数是奇函数。
4．正切函数的单调性是什么？
函数的单调性，是指在某个区间内随着自变量x的增大函数值y在增大还是在减小。能直观地看出这一点是什么？(图象)与正切值有关的图象是正切线。（投影正切线）

因为角x的终边落在第四象限内与落在第二象限内时正切线的变化情况一致，角x的终边落在第一象限内与落在第三象限内时正切线的变化情况也一致，所以我们只需要讨论角x的终边落在第一、四象限内时正切线的变化情况。又因为正切函数的周期是，而从到刚好是一个周期，所以我们只需研究角x的终边在开区间内时正切线的变化情况。（投影）
可以得出，正切函数在内是增函数。又由正切函数的周期性可知：
正切函数在开区间内都是增函数。
5．正切函数的值域是什么？
函数的值域，是指函数值y的取值范围。这一点也可以从正切线的变化规律看出。（投影）
在内观察：
当小于，时，正切线AT向Oy轴的正方向无限延伸，，
当大于，时，正切线AT向Oy轴的负方向无限延伸，。
∴正切函数的值域是实数集R。但无最大值、最小值。

问题：现在我们已经得到了正切函数的性质，你能根据它们画出正切函数的图象吗?
（回想：利用正弦函数的性质画正弦函数的图象的方法：先画出一个周期内的图象，然后结合函数的奇偶性、周期性可画出整个函数的图象）。
因为正切函数与正弦函数都是周期函数，所以也只需先画出先画出一个周期内的图象，然后利用正切函数的周期性向左、右扩展，就可得到正切函数的图象。而从前面的讨论过程中已经知道这个周期是开区间。
现在你能画出函数，的简图吗？(让学生上台画)
强调指出：曲线向上、向下与直线无限接近，但不相交。
㈡正弦函数的图象
6．作，的图象
(多媒体演示：几何画板作图)

说明：（1）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
，且的图象，称“正切曲线”。

y

0
x

（2）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。
教师：我们可以根据正切函数的性质画正切函数的图象，反过来，你能从正切函数的图象得出它的性质吗？（引导学生观察图象，论证先前所的性质）
正切函数的性质：
（1）定义域：；
（2）值域：R
（3）周期性：；
（4）奇偶性：正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。
教师：我们再看正切曲线，想一想它与正弦曲线、余弦曲线有什么不同？
说明：正切函数相对于正弦、余弦函数的区别在于：无最值，定义域“断续”，周期“变短”，增减性变“单纯”。
7．讲解范例：
例1不通过求值，比较下列两组值的大小:
⑴tan135°与tan138°；
⑵与
解：⑴∵90°＜135°＜138°＜270°
又∵y＝tanx在(90°，270°)上是增函数
∴tan135°＜tan138°
⑵，，
又∵内单调递增，

做法:引导学生回忆正弦函数的性质的应用，让学生回答或板演，教师纠错、归纳。并指出画正切曲线在开区间内的简图的方法：三点两线。
例2求函数的定义域、周期和单调区间
分析：这是对一个复合函数的性质的讨论，可通过换元法转化为对最基本的三角函数的性质的应用。
对于周期，可先复习周期函数的定义，

即：当自变量变化(增加T个单位)后，函数值不变。
解：●⑴由得
∴函数的定义域为｛x｜｝
●