概率论与数理统计公式大全.pdf

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概率论与数理统计公式

概率公式整理
1．随机事件及其概率
A∪Ω=ΩA∩Ω=A
吸收律：A∪∅=AA∩∅=∅
A∪(AB)=AA∩(A∪B)=A

A−B=AB=A−(AB)

反演律：A∪B=ABAB=A∪B

nnnn
∪Ai=∩Ai∩Ai=∪Ai
i=1i=1i=1i=1
2．概率的定义及其计算

P(A)=1−P(A)

若A⊂B⇒P(B−A)=P(B)−P(A)

对任意两个事件A,B,有P(B−A)=P(B)−P(AB)

加法公式：对任意两个事件A,B,有
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)

P(A∪B)≤P(A)+P(B)

nnn
n−1
P(∪Ai)=∑P(Ai)−∑P(AiAj)+∑P(AiAjAk)+⋯+(−1)P(A1A2⋯An)
i=1i=11≤i<j≤n1≤i<j<k≤n

3．条件概率

P(AB)
P(BA)=
P(A)

乘法公式
P(AB)=P(A)P(BA)(P(A)>0)

P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2A1)⋯P(AnA1A2⋯An−1)

(P(A1A2⋯An−1)>0)
全概率公式

nn
P(A)=∑P(ABi)=∑P(Bi)⋅P(ABi)
i=1i=1

Bayes公式
P(AB)P(B)P(AB)
P(BA)=k=kk
kP(A)n
∑P(Bi)P(ABi)
i=1

4．随机变量及其分布

分布函数计算
P(a<X≤b)=P(X≤b)−P(X≤a)
=F(b)−F(a)

5．离散型随机变量

(1)0–1分布

P(X=k)=pk(1−p)1−k,k=0,1

(2)二项分布B(n,p)

若P(A)=p

kkn−k
P(X=k)=Cnp(1−p),k=0,1,⋯,n

*Possion定理

limnpn=λ>0
n→∞

k
kkn−k−λλ
limCnpn(1−pn)=e
有n→∞k!
k=0,1,2,⋯

(3)Poisson分布P(λ)

λk
P(X=k)=e−λ,k=0,1,2,⋯
k!
6．连续型随机变量

(1)均匀分布U(a,b)

⎧1
⎪,a<x<b
f(x)=⎨b−a
⎪
⎩0,其他
⎧0,
⎪
⎪x−a
F(x)=⎨,
⎪b−a
⎩⎪1

(2)指数分布E(λ)

−λx
⎪⎧λe,x>0
f(x)=⎨
⎩⎪0,其他

⎧0,x<0
F(x)=⎨−λx
⎩1−e,x≥0

(3)正态分布N(µ,σ2)

(x−µ)2
−
12
f(x)=e2σ−∞<x<+∞
2πσ

(t−µ)2
−
1x2
F(x)=e2σdt
2πσ∫−∞

*N(0,1)—标准正态分布

x2
1−
ϕ(x)=e2−∞<x<+∞
2π

t2
1x−
Φ(x)=e2dt−∞<x<+∞
2π∫−∞

7.多维随机变量及其分布

二维随机变量(X,Y)的分布函数
xy
F(x,y)=f(u,v)dvdu
∫−∞∫−∞
边缘分布函数与边缘密度函数

x+∞
FX(x)=f(u,v)dvdu
∫−∞∫−∞

+∞
fX(x)=f(x,v)dv
∫−∞

y+∞
FY(y)=f(u,v)dudv
∫−∞∫−∞

+∞
fY(y)=f(u,y)du
∫−∞

8.连续型二维随机变量

(1)区域G上的均匀分布，U(G)

⎧1
⎪,(x,y)∈G
f(x,y)=⎨A
⎩⎪0,其他

(2)二维正态分布

1⎡(x−µ)2(x−µ)(y−µ)(y−µ)2⎤
−⎢1−2ρ12+2⎥
12(1−ρ2)2σσ2
f(x,y)=×e⎣⎢σ112σ2⎦⎥
2
2πσ1σ21−ρ
−∞<x<+∞,−∞<y<+∞

9.二维随机变量的条件分布

f(x,y)=fX(x)fYX(yx)fX(x)>0

=fY(y)fXY(xy)fY(y)>0

+∞+∞
fX(x)=f(x,y)dy=f(xy)fY(y)dy
∫−∞∫−∞XY

+∞+∞
fY(y)=f(x,y)dx=f(yx)fX(x)dx
∫−∞∫−∞YX

f(x,y)fYX(yx)fX(x)
fXY(xy)==
fY(y)fY(y)

f(x,y)fXY(xy)fY(y)
fYX(yx)==
fX(x)fX(x)
10.随机变量的