四川省成都外国语学校2019届高三开学考试数学(理)试卷(Word版-含答案).doc

成都外国语学校2018-2019学年度上学期开学考试
数学试题（理工类）
满分：150分，时间：120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）
A.B.C.D.
2.若复数，复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.已知双曲线的一个焦点为,则焦点到其中一条渐近线的距离为（）
A.B.C.D.
4.设函数，则（）
A.1B.2C.D.

5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为（）
A. B. C. D.

6．已知直线的倾斜角为，则（）
A.B.C.D.

7.已知二项式的展开式中的系数为，则的值为（）
A．B．C.D．
8．设，，，则（）
A. B. C. D.

9.定义域为的奇函数的图像关于直线对称，且，则（）
A.2018B.2020C.4034D.2

10.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（）
A.B.C.D.

11.已知椭圆的左、右焦点分別为，过的直线与椭圆交于两点，若是以为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）
A．B．C.D．
12.已知函数，若函数与有相同的值域，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算___________.

14.已知满足，则的最大值为__________．
15.当函数，取得最小值时，________.
16.已知平面向量满足，且与的夹角为150°，则的取值范围是____________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
必做题：共60分。
17.（本小题满分10分）记为等差数列的前项和，已知，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．

18.（本小题满分12分）如图1，在△中，,分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，为的中点，如图2．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.

图1图2

19.（本小题满分12分）生蚝即牡蛎是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如下表所示：

（Ⅰ）若购进这批生蚝，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；
（Ⅱ）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在间的生蚝的个数为，求的分布列及数学期望.

20.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

21.（本小题满分12分）设函数
（Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求实数与的值；
（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：.

选做题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数以原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并指出它是何种曲线；
（Ⅱ）设与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的取值范围．

23．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围。
数学试题（理工类）
参考答案
选择题：
1～5,DBCDC6～10,ABCAD11～12,DA
填空题：
13,114，415，16，
解答题:
17、解析（1）；（2）错位相减法，
18.解：（Ⅰ）取线段的中点，连接，．
因为在△中，，分别为，的中点，所以，．
因为，分别为，的中点，所以，，
所以，，所以四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以平面．