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导数在研究函数中的应用
知识梳理
一函数的单调性
1、利用导数的符号判断函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；
2、对于可导函数来说，是在某个区间上为增函数的充分非必要条件，是在某个区间上为减函数的充分非必要条件。
3、利用导数判断函数单调性的步骤：
①求函数f(x)的导数f′(x).
②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.
4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
二函数极大值、极小值
1、极大值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最大值点，即不等式对一切成立，就说函数f(x)在处取到极大值，并称为函数f(x)的一个极大值点，为f(x)的一个极大值。
2、极小值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最小值点，即不等式对一切成立，就说函数f(x)在处取到极小值，并称为函数f(x)的一个极小值点，为f(x)的一个极小值。
3、极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点；若，则叫做函数f(x)的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。
4、判别f(c)是极大、极小值的方法:若满足，且在c的两侧的导数异号，则c是的极值点，是极值，并且如果在c两侧满足“左正右负”，则c是的极大值点，是极大值；如果在c两侧满足“左负右正”，则c是的极小值点，是极小值
5、求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求f(x)的驻点，即求方程f′(x)=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值
三函数的最大值和最小值
在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。求闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤：
（1）求函数ƒ在(a，b)内的极值；
（2）求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；
（3）将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
四三次函数有极值导函数的判别式>0
利用导数研究函数的单调性
典例剖析:
题型一求函数的单调区间
例1已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.
分析：讨论函数的单调区间，可以利用导数来判断
解答：y′=(x+)′=1－=
令＞0.解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)
点评：利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，再求函数f(x)的导数f′(x).，然后解不等式f′(x)＞0，得递增区间，解不等式f′(x)＜0，得递减区间.
题型二已知函数的单调性，求参数的取值范围
例2.若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围．
分析：常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
解答：函数求导得，
令得或，
因为函数在区间内为减函数，所以当时，
又因为在函数区间上为增函数，所以当时，，
∴，
∴．
即实数的取值范围[5，7]
点评：已知单调区间求参数a的取值范围是近年来常见的考查导数的一种题型。
备选题
例3：已知函数f（x）=2ax－,x∈（0,1］，若f（x）在x∈（0,1］上是增函数，求a的取值范围；
解:由已知可得f′（x）=2a+,∵f（x）在（0,1）上是增函数，∴f′（x）＞0,即a＞－,x∈（0,1］.∴a＞－1.
当a=－1时，f′（x）=－2+对x∈（0,1）也有f′（x）＞0，满足f（x）在（0,1］上为增函数，
∴a≥－1.
评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.
点击双基
1.函数y=x+cosx在（-，+）内是（）
A增函数B减函数C有增有减D不能确定
解：因为=1-sinx0恒成立，故选A
2.．函数的单调减区间是（D）
A．（ B.C．， D.以上都不对。
解：（x）=3+2>0恒成立，不存在单调减区间，故选D
3.函数(,则()
A．B.
C．D.大小关系不能确定
解：（x）=-=<0时x<1,所以(为减区间，又，故选C
4.函数的单调增区间是
解：（x）=1+2co