第11讲.doc

第11讲§1.2.3直线与平面的位置关系（三）¤学习目标：1．理解斜线在平面内的射影、直线与平面所成角的概念；2．掌握求直线与平面所成角的基本方法；3．掌握把空间两条直线的垂直问题与平面上两条直线的垂直的相互转化的方法．¤知识讲解：1．一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线（obliqueline），斜线与平面的交点叫做斜足．斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影．2．直线和平面所成角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．特别地：（1）如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角；（2）一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°．即线面所成角的范围为[0°，90°]．ABCa3．最小角定理：斜线和平面所成的角，是斜线和它在平面内的射影所成的锐角，它是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成角中最小的角．¤例题精讲：【例1】如图，已知AC，AB分别是平面的垂线和斜线，C，B分别是垂足和斜足，，．求证：．证明：∵，，∴．又，，∴平面ABC．又AB平面ABC，∴．APBCEFO解题回顾：此题结论即为三垂线定理．课本13题：“求证：如果平面内的一条直线与这个平面内的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直”就是三垂线定理的逆定理．【例2】如图，已知∠BAC在平面内，，∠PAB=∠PAC．求证：点P在平面上的射影在∠BAC的平分线上．证明：作PO⊥，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连结OE，OF，OA．．平面PEO．同理，AC⊥OF在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE=AF，OA=OA，所以Rt△AOE≌Rt△AOF．于是∠EAO=∠FAO，即点P在上的射影O在∠BAC的平分线上．ABCDEF【例3】如图，已知正方形ABCD的边长为1，线段EF∥平面ABCD，点E，F在平面ABCD的正投影分别为A，B，且EF到平面ABCD的距离为．求（1）EA与FD所成的角；（2）FD与平面ABCD所成的角．解：（1）连结BD，由已知，有EA⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，∴EA∥FB．∴∠BFD就是EA与FD所成的角或其补角．由题意，得，，FB⊥BD，ASBCDMN∴，∴在Rt△FBD中，∠BFD=，∴EA与FD所成的角为．（2）由（1）知，∠BDF就是FD与平面ABCD所成的角，∵∠BDF=，∴FD与平面ABCD所成的角为．【例4】如图，已知四棱锥S—ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AB，M，N分别为SB，SD的中点．（1）求SB，SC与底面ABCD所成角的正切值；（2）若SA=a，求直线AD到平面SBC的距离；（3）求证：SC⊥平面AMN．解：（1）因为SA⊥平面ABCD，∴∠SBA就是SB与平面ABCD所成的角．∵SA=AB，∴∠SBA=45°．∴tan∠SBA=1．连AC，由SA⊥平面ABCD，∴∠SCA就是SC与平面ABCD所成的角．∵，∴．（2）．∴AM就是AD到面SBC的距离．∵，∴直线AD到平面SBC的距离为．（3）∵AM⊥面SBC，SC面SBC，∴AM⊥SC．同理可证：AN⊥面SDC，∴AN⊥SC．又∵AM∩AN=A，∴SC⊥平面AMN．