函数的极值与导数.ppt

1.3.2函数的极值与导数1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．4．增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力．已知y＝f(x)的图象(如图)．[问题1]当x＝a时，函数值f(a)有何特点？[提示1]在x＝a的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值．[问题2]试分析在x＝a的附近导数的符号．[提示2]在x＝a附近的左侧，曲线的切线斜率小于零，即f′(x)<0，而在x＝a附近的右侧，曲线的切线斜率大于零，即f′(x)>0.[问题3]f′(a)值是什么？[提示3]f′(a)＝0.若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝_______；而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧__________，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其它点的函数值都大，f′(b)＝______；而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧__________，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．1．对函数极值概念的理解(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值，没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时(1)如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么，f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么，f(x0)是极小值．2．极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．(2)不可导点可能是极值点，也可能不是极值点．(3)导数为0是极值点：y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是极小值点．1．下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：①－3是函数y＝f(x)的极值点；②－1是函数y＝f(x)的最小值点；③y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增．则正确命题的序号是()A．①②B．①④C．②③D．③④解析：由导函数图象知函数f(x)在(－∞，－3)上单调递减，(－3，＋∞)上单调递增，f′(－3)＝0，f′(0)>0，x＝－3是函数f(x)的极值点，①④正确．答案：B2．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是()A．极大值点x＝－1B．极大值点x＝0C．极小值点x＝0D．极小值点x＝1解析：y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，故选C.答案：C3．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2.列表如下：∴当x＝2时，f(x)取得极小值．答案：x＝2求函数的极值(1)函数的定义域为R.f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.由此可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：故当x＝3时函数取得极小值，且f(3)＝－22.1.求可导函数f(x)极值的步骤：(1)求函数的导数f′(x)；(2)令f′(x)＝0，求出全部的根x0；(3)列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在这个表格内；(4)判断得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．2．注意事项：(1)不要忽略函数的定义域；(2)要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．1．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝x2e－x.解析：(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；当x